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물리학에서 양자화(quantization)는 연속적으로 보이는 양을 자연수로 셀 수 있는 양으로 재해석하는 것을 이야기한다. 정보 이론에서 양자화는 아날로그 데이터, 즉 연속적인 값을 디지털 데이터, 즉 띄엄띄엄한 값으로 바꾸어 근사하는 과정을 뜻한다.
양자화 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
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양자화 (물리학) – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
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역사[편집]
양자화의 방법[편집]
정준양자화[편집]
기하학적 양자화[편집]
경로적분 양자화[편집]
게이지 이론의 양자화[편집]
각주[편집]
같이 보기[편집]
양자화
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¿¡³ÊÁöÀÇ ¾çÀÚÈ
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샘플링 (Sampling), 양자화 (Quantization) 및 부호화 (Coding)
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샘플링 (Sampling) 양자화 (Quantization) 및 부호화 (Coding) 본문
양자화(quantize / quantization) | 과학문화포털 사이언스올
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양자화
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새로운 색상의 양자화 방법: Wolfram 언어 12의 신기능
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물리학에서 양자화(量子化, 영어: quantization)란 좁은 의미에서 거시적으로 연속적인 양을 어떤 기본 단위(양자)의 정수배로 측정하는 양으로 재해석하는 것을 뜻한다. 예를 들어, 고전적으로 연속적으로 나타내어지는 전하는 미시적으로는 기본전하의 정수배(혹은 쿼크의 경우 ⅓배)로 나타내어진다. 보다 넓은 의미에서, 양자화는 주어진 고전 이론의 측정가능량(observable)을 단순한 수가 아닌 연산자로 치환하는 것을 뜻한다. 이렇게 하면 실험적으로 측정되는 값은 그 연산자의 고윳값으로 나타내어진다. 많은 경우에 이 고윳값은 어떤 주어진 양자의 정수배의 꼴이나, 꼭 그렇지는 않다. 예를 들어, 고전역학에서 실수로 나타내는 위치와 운동량은 양자역학에서 각각 연산자로 나타낸다.
역사 [ 편집 ]
1901년 막스 플랑크는 통계 물리의 분포 함수를 전개해 나가던 중, 실험으로 관찰되는 흑체 복사의 성질을 설명하려면 에너지의 양이 셀 수 있는 기본 단위로 이루어져야 한다는 것을 깨달았다. 즉 가장 작은 에너지의 단위가 존재하며 진동수 ν에 대해
E = h ν {\displaystyle E=h
u }
의 관계를 만족한다. 여기에서 h는 플랑크 상수이며 양자역학적인 효과의 크기를 나타내는 고유한 상수이다.
1905년에 알베르트 아인슈타인은 광전효과를 설명하는 논문 “빛의 방출과 변형에 대한 발견적 관점(On a heuristic viewpoint concerning the emission and transformation of light)”에서 전자기파를 양자화하는 제안을 했다.[1] 이 논문에서 언급하는에너지 양자들은 나중에 “광자”로 불리게 되었다. 1913년 7월에 보어는 그의 논문 “원자와 분자의 법칙에 관하여(On the Constitution of Atoms and Molecules)” 에서 양자화를 이용하여 수소 원자의 스펙트럼 선들을 설명하였다.
앞서 나온 이론들은 성공적이였지만, 아주 현상학적이였다. 그러나 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레가 1912년에 발표한 논문 “양자론의 측면에서(Sur la théorie des quanta)”에서 양자화가 무엇인지 처음으로 체계적이며 엄격한 정의를 내렸다. 푸앵카레가 내린 양자화의 정의 이전은 오래된 양자이론으로 부른다.[2][3]
“양자 물리학”이라는 표현은 존스턴의 현대 물리학으로 본 플랑크의 세계(Planck’s Universe in Light of Modern Physics)에서 처음 사용되었다. (1931).
양자화의 방법 [ 편집 ]
양자화에는 여러 가지 방법이 있다. 흔히 쓰는 것으로는 정준양자화(canonical quantization)와 경로적분 양자화(path-integral quantization)가 있다. 이 이외에도 기하학적 양자화 (geometric quantization), 굽타-블로일러 양자화 (Gupta-Bleuler), BRST 양자화 등이 있다.
정준양자화 [ 편집 ]
정준양자화란 공간 좌표 변수 x와 운동량 변수 p에 다음과 같은 정준교환관계(canonical commutation relation)를 주는 것이다.
[ x , p ] = i ℏ {\displaystyle [x,p]=i\hbar }양자장론의 경우, 보존 장을 양자화할 때 장 ϕ {\displaystyle \phi } 와 그에 해당하는 정준운동량장 π {\displaystyle \pi } 에 대해, 동시(同時) 정준교환관계를 준다.
[ ϕ ( x , t ) , π ( y , t ) ] = i ℏ δ ( x − y ) {\displaystyle [\phi (x,t),\pi (y,t)]=i\hbar \delta (x-y)}페르미온의 경우, 교환자 대신 반교환자를 사용한다.
{ ϕ ( x , t ) , π ( y , t ) } = i ℏ δ ( x − y ) {\displaystyle \{\phi (x,t),\pi (y,t)\}=i\hbar \delta (x-y)}
기하학적 양자화 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 기하학적 양자화 입니다.
경로적분 양자화 [ 편집 ]
리처드 파인먼이 도입한 경로적분을 사용한다.
게이지 이론의 양자화 [ 편집 ]
굽타-블로일러 양자화 [ 편집 ]
가환 양-밀스 이론 (양자전기역학)의 경우에는 단순하게 굽타-블로일러 양자화를 쓸 수 있다. 인도의 물리학자 수라지 굽타 (Suraj N. Gupta)와 독일의 물리학자 콘라트 블로일러 (Konrad Bleuler)가 고안하였다.
파데예프-포포프 방법 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 파데예프-포포프 유령 입니다.
일반적으로, 게이지 이론은 그냥 양자화하려면 게이지 대칭 때문에 전파인자를 구할 수 없다. 따라서 게이지 고정을 시켜야 한다. 이를 위하여 임의로 게이지 대칭을 깨는 항을 넣을 수 있으나, 이는 그 후 삽입한 항이 고전적으로 영향을 주지 않는다는 것을 보여야 한다. 파데예프-포포프 방법(영어: Fadeev–Popov method)은 게이지를 자동적으로 고정시키는 한 방법이다. 경로적분에 함수공간 델타 함수를 넣어 게이지를 고정한 후, 그 델타를 일련의 유령장(ghost)의 경로적분의 꼴로 바꾼다. 이렇게 하여 생긴 유령장은 실제로 관측할 수 없고, 스핀과 반대가 되는 통계를 따른다. 물리학적으로, 유령장은 게이지 장의 필요없는 자유도를 상쇄한다. 따라서 결과적으로 고전적 작용에 게이지 고정항과 유령항이 더해진 양자 작용을 얻게 된다.
러시아의 물리학자 류드비크 파데예프와 빅토르 니콜라예비치 포포프(러시아어: Ви́ктор Никола́евич Попо́в)가 고안하였다.
BRST 양자화 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 BRST 양자화 입니다.
이탈리아의 물리학자 카를로 마리아 베키 (Carlo Maria Becchi), 프랑스의 물리학자 알랭 루에 (Alain Rouet)와 레몽 펠릭스 스토라(Raymond Félix Stora), 러시아의 물리학자 이고르 빅토로비치 튜틴(Игорь Викторович Тютин)이 고안한, 게이지 장을 양자화하는 방법.
바탈린-빌코비스키 양자화 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 바탈린-빌코비스키 대수 입니다.
바탈린-빌코비스키 양자화는 BRST 양자화를 확장한 것으로, 게이지 대칭 대수가 닫혀 있지 않아도 되는 일반적인 게이지 이론을 양자화하는 방법이다. 반(反)장 (antifield) 양자화라고 부르기도 한다. BV에서는 각 장에 반장 (antifield), 각 게이지 대칭에 유령장과 반유령장을 도입한다.
각주 [ 편집 ]
↑ Folsing, Albrecht (1997), 《Albert Einstein: A Biography》, trans. Ewald Osers, Viking ↑ McCormmach, Russell (Spring 1967), “Henri Poincaré and the Quantum Theory”, 《Isis》 58 (1): 37–55, doi:10.1086/350182 ↑ Irons, F. E. (August 2001), “Poincaré’s 1911–12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms”, 《American Journal of Physics》 69 (8): 879–84, Bibcode:2001AmJPh..69..879I, doi:10.1119/1.1356056
에너지의 양자화
에너지의 양자화 수소원자의 에너지 양자화 양자화 – 원자의 에너지는 띄엄띄엄한 값만 가질 수 있다. 보어의 원자모형 에서는 궤도와 각운동량, 에너지 등이 띄엄띄엄한 것만 허용된다. 이렇게 물리량이 연속적인 값을 갖지 못하고 특정한 값만을 갖게 되는 것을 양자화 (quantized) 되어 있다고 한다. 이러한 보어의 발상은 지금까지의 역학에 대한 개념을 뛰어 넘는 혁명적인 것이었다. 보어는 자신의 가설 1, 즉 정상상태 가설 의 보다 근본적인 근거를 제시하지 못했기 때문에 이론에서의 불완전한 면이 많으나, 현대물리학에서 아인슈타인 과 더불어 보어를 이 새로운 학문체계의 또다른 창시자로 높이 평가하는 이유는 이러한 사고의 전환이 역시 상대성이론에서의 경우와 마찬가지로 새로운 물리학을 여는 데 크게 기여를 했기 때문이다. 여기서 물질이 양자화 되어 있다는 것이 왜 새롭고 혁명적인 발상이란 말일까? 이전의 역학, 즉 뉴턴의 역학에서는 구슬을 굴러 움직이게 할 때 힘을 가하는 정도에 따라서 구슬이 어떤 속도 값이라도 가지게 할 수 있으며, 이에 따라 어떤 에너지 값도 가지게 할 수 있다. 즉 연속적인 에너지 값을 가질 수 있는 것이다. 그러나 수소원자의 전자는 이렇게 연속적인 에너지 값을 갖는 것이 허용되지 않는다. 다른 원자들도 모두 띄엄띄엄한 스펙트럼을 갖고 있기 때문에 수소원자와 사정이 비슷할 것이라고 짐작할 수 있다. 즉 미시세계의 모든 물질들은 그 에너지가 양자화 되어 있는 것이다. 러더퍼드 원자모형 같이 원자핵 주위를 전자가 돌고 있을 때, 이 회전운동의 각운동량은 전자의 [질량($m_e$) x 속력($v$)]의 운동량 에다가 회전 반경($r$)을 곱한 값이다. 정상상태 가설 에 의하면 이 값이 다음과 같이 주어진다. \[ m_evr = n \frac{h}{2\pi} \] 여기서의 $n$은 1, 2, 3, 4 등의 자연수이다. 이 식은 앞에서 (구심력=정전기력) 으로 적었던 식 \[ \frac{m_e v^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2} \] 과 조합하면 궤도반경 $r$이 제한되는 것을 알 수 있다. 즉 두 식을 모두 만족하는 $r$ 을 구해보면 \[ r_n = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m_e e^2} = 5.292 \times 10^{-11} n^2 ~\mathrm{m} \] 이로부터 임의의 궤도가 허용되지 않고 띄엄띄엄한 궤도만 허용됨을 알 수 있다. 여기서 $n=1$일 때의 반경 $a_0 = 5.292 \times 10^{-11}\mathrm{m} = 0.05292 ~\mathrm{nm}$를 보어 반지름 (Bohr radius)이라 하여 원자의 규모를 적절하게 나타내는 단위로도 쓴다. 위의 각 궤도반경에 대응되는 에너지 역시 띄엄띄엄한 값을 가져서 수소원자의 에너지는 다음과 같이 된다. \[ \begin{equation} \label{eq1} E_n = – \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2}~\mathrm{eV} \end{equation} \] 여기서 $\mathrm{eV}$는 $1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}~\mathrm{J}$로 원자 수준의 에너지를 표현하기에 적합한 매우 작은 에너지 단위이다. $n$ 값이 자연수이므로 이 값이 에너지가 양자화 된 순서를 나타내기도 하여 양자수 (quantum number)라고 한다.
[질문1] 수소원자의 바닥상태 에서의 전자의 공전주기와 궤도운동 속력을 구하라. [질문2] 전자는 실제의 질량이 아니라 환산질량 으로 계산해야 한다. 전자의 질량과 수소의 원자핵( 양성자 )의 질량을 이용해서 환산질량 을 계산하라. 또한 이 결과를 \eqref{eq1} 식에 적용해서 13.6eV 부분을 소숫점 이하 4자리까지 정교하게 계산하라. [질문3] 포지트로늄(positronium)은 양전자 와 전자로 이루어진 일종의 원자으로 수소원자에서 핵이 양전자 로 대치된 것으로 이해할 수 있다. 양전자 는 전하 가 $+e$이고, 전자는 $-e$로 질량은 같다. 이의 결합상태의 에너지 준위 를 \eqref{eq1} 식처럼 표현하라. [질문4] $n=3$ 상태에 있는 수소원자에서 전자를 떼어내는 데 필요한 에너지는 얼마인가? eV의 단위로 답하라._ 보어의 원자모형 _ 정상상태 가설 _ 아인슈타인 _ 환산질량 _ 러더퍼드 _ 운동량 _ 양전자 _ 양성자 _ 전하 수소원자의 스펙트럼 보어의 이론은 수소원자의 스펙트럼을 완벽하게 해석한다. 수소원자에서 허용된 전자의 에너지는 맨 밑에서부터 -13.6, -3.40, -1.51, -0.85, -0.54, -0.38, … , 0 [eV] 등이다. 이들을 에너지 준위 (energy level)라 하고, 전자가 이들 준위 중에서 한 준위에 있게 되는 데, 보통상태의 수소원자는 제일 아래의 준위에 전자가 머무르고 있어 이를 바닥상태 (ground state)라고 한다. 한편 전자가 적절한 에너지를 받게 되면 바닥상태 보다 더 높은 준위로 올라가게 되는 데 이를 들뜬다라고 하고, 이렇게 된 상태를 들뜬상태 (excited state)라고 한다. 계에 허용된 상태사이를 넘나드는 것을 전이 (transition)라 하는 데 이때에는 주로 빛, 즉 광자가 잉여 에너지를 뺏어가거나 부족한 에너지를 공급한다. 높은 상태 낮은 상태로 전이 하는 경우에는 그 차이의 에너지를 가진 광자가 방출되고, 반대의 경우는 광자가 흡수된다. graphic [IFrame] If this content can’t be shown well, change the Internet Browser such as ‘Chrome’.
수소원자의 에너지 준위와 스펙트럼 _ 수소원자의 여러 스펙트럼과 높은 준위에서 낮은 준위로 떨어질때의 빛을 보여주고 있다.
위 그림은 전자가 낮은 상태로 전이 하면서 빛을 내는 것을 보여준다. 만일 $n=3$에서 $n=2$로 전이 한다면 그 에너지 차이인 1.89 eV에 해당하는, 즉 4.58 x 1014 Hz의 진동수 , 656 nm 파장을 갖는 붉은 빛의 광자를 방출하게 된다. 한편 빛의 파장이 780 nm 보다 크게 되거나 370 nm 보다 작으면 우리 눈으로 볼 수 없어 각각 적외선, 자외선이라 한다. $n=2$로 전이 하는 경우에는 우리 눈으로 보이는 가시광선 이 되어 이 스펙트럼을 발견한 사람의 이름을 따서 발머 계열 (Balmer series)이라 한다. 전자의 양자수 가 $n_i$에서 $n_f$로 줄어들 때 방출되는 빛의 진동수 는 다음과 같은 관계를 가진다. \[ h
u = E_{n_i} – E_{n_f} = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \left[ \frac{1}{n_f^2} – \frac{1}{n_i^2} \right] \] 따라서 \[ \begin{equation} \label{eq2} \frac{1}{\lambda} = \frac{
u}{c} = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c} \left[ \frac{1}{n_f^2} – \frac{1}{n_i^2} \right] = R \left[ \frac{1}{n_f^2} – \frac{1}{n_i^2} \right] \end{equation} \] 이 되고, 여기서 \[ \begin{equation} \label{eq3} R = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c} \end{equation} \] 이 바로 뤼드베리 상수 로, 과거에 발머, 라이만, 파센 등에 의해 관측되었던 결과와 완벽하게 일치하는 것을 알 수 있다. (‘원자 스펙트럼’ 단원 참조)
[질문1] \eqref{eq3} 식으로 나타낸 뤼드베리 상수 는 식에서 주어진 것처럼 전자의 질량 $m_e$를 이용한다. 이는 핵의 질량을 무한히 크다고 보는 경우로 이를 $R_\infty$로 나타낸다. 한편 실제의 수소원자에서는 환산질량 을 이용하므로 $R_\text{H}$로 나타낸다. $R_\infty$와 $R_\text{H}$를 지금 현재 알려진 상수들을 이용하여 소숫점 이하 6자리까지 정교하게 계산해 보라. [질문2] 뤼드베리 상수 와 관련해서 뤼드베리 에너지 단위 (Rydberg unit of energy)를 쓰기도 한다. 이는 $\text{Ry}$로 표기하고, \[ 1 ~\text{Ry} = hc R_\infty \] 으로 정의한다. 이 값이 13.605 693 eV인 것을 확인하라. [질문3] 뮤온원자(muonic atom)는 원자의 전자가 뮤온으로 대치된 일종의 원자이다. 뮤온은 전하 는 전자와 같이 $-e$이나 질량은 전자보다 약 207배 무겁다. 수소원자에서의 전자가 뮤온으로 대치된 뮤온원자에서 방출될 수 있는 가장 에너지가 큰 광자의 에너지는 몇 eV인가? 단 이 경우도 보어 의 이론이 성립된다고 가정한다._ 뤼드베리 상수 _ 원자 스펙트럼 _ 발머 계열 _ 환산질량 _ 가시광선 _ 진동수 _ 보어 _ 전하
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샘플링 (Sampling), 양자화 (Quantization) 및 부호화 (Coding)
1. 샘플링 (Sampling)
컴퓨터는 0과 1 같은 이산적인 자료들로 구성된다. 그러나 실세계에서는 0과 1사이에도 무한히 많은 수가 존재한다. 샘플링은 연속적인 시간에 대해 생성되는 데이터를 이산적인 시간에 대한 데이터로 변환하는 과정이다.
[그림 1] 아날로그 데이터에 대한 샘플링컴퓨터에서는 연속적인 시간에 대한 데이터에 포함되어 있는 무한히 많은 정보를 모두 저장할 수 없기 때문에 위의 [그림 1]과 같이 0, 1, 2, … 와 같은 일정 시간 간격으로 데이터를 읽는 샘플링을 수행한다.
2. 양자화 (Quantizaton)
샘플링은 연속적인 시간에 대해 생성되는 데이터를 이산적인 시간에 대한 데이터로 변환하는 과정이다. 실세계의 아날로그 데이터는 시간뿐만 아니라, 데이터가 표현하는 값에 대해서도 연속적인 성질을 갖는다.
[그림 2] 아날로그 데이터에 대한 양자화위의 [그림 2]는 연속적인 값을 갖는 아날로그 데이터를 양자화하여 이산적인 분포를 갖는 값들로 데이터를 재구성하는 양자화 과정을 보여준다. [그림 2]의 양자화 과정에서는 연속적인 값을 갖는 아날로그 데이터를 { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 5 }으로 구성되는 이산적인 값으로 변환한다. 총 11개의 값을 표현하기 위해서 컴퓨터는 각각의 값에 4비트를 할당해야 한다.
3. 비트율 (Bit rate)
신호 처리에서 비트율이라는 것은 어떠한 아날로그 데이터에 대해 샘플링 및 양자화를 수행할 때 생성되는 단위 시간당 비트를 의미한다. 비트율은 아래의 [식 1]과 같이 계산된다.
예를 들어, 0.2초마다 아날로그 데이터의 값을 읽고, 읽은 값마다 4비트를 할당하여 값을 표현한다면, 비트율은 20bit/s가 된다.
4. 부호화 (Coding)
부호화는 샘플링 및 양자화된 데이터를 특정 비트 스트림으로 변환하는 과정이다.
[그림 3] 부호화의 한 예시예를 들어, 위의 [그림 3]과 같은 부호화를 통해 4비트로 표현되는 0001이라는 값은 00으로 표현되며, 0100은 10으로 표현된다. 즉, 위의 예시에서는 부호화를 통해 4비트로 양자화된 데이터를 2비트로 줄이는 것이 가능하다.
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