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조조쌤 중3 수학 삼각비! 왕초보용! sin, cos, tan를 아직도 모른다구!?

[삼각비, 삼각함수 / 삼각비의 기본개념 정리] 삼각비 기본 개념 정리하기 : 네이버 블로그

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[삼각비, 삼각함수 / 삼각비의 기본개념 정리] 삼각비 기본 개념 정리하기 : 네이버 블로그

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정의[편집]

성질[편집]

응용[편집]

역사[편집]

어원[편집]

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]

참고[편집]

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[삼각비, 삼각함수 / 삼각비의 기본개념 정리] 삼각비 기본 개념 정리하기

[삼각비, 삼각함수 / 삼각비의 기본개념 정리]

삼각비 기본 개념 정리하기

안녕하세요!

오늘은 중3과정 2학기에서 피타고라스 다음 단원에서 배우는 삼각비에 대해 포스팅 하려고 합니다.

사인, 코사인, 탄젠트

다들 많이 들어보셨나요?ㅋ

삼각함수에서 나오는 용어들이랍니다.

사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent) 의 역사부터 알아볼게요^^

출처 : 눈높이 대백과

사인(sinθ), 코사인(cosθ), 탄젠트(tanθ) 같은 삼각비를 이용하여 삼각형의 변의 길이, 각의 크기, 넓이 등을 구하는 삼각법은 천문학, 점성술, 토지 측량, 항해술과 같은 실생활에 널리 사용되어 그 역사가 대단히 오래되었다.

삼각법은 영어로 ‘trigonometry’라고 하는데 이것을 그리스어에서 삼각형을 뜻하는 ‘trigon’과 측정을 뜻하는 ‘metro’라는 두 단어의 합성어이다. 처음에는 토지를 관리하거나 항해를 하다가 측량의 필요에 의해서 얻은 지식들이 하나씩 쌓여 오늘날의 삼각함수로 발전이 된 것이다.

고대 이집트, 바빌로니아, 중국 등에서도 각의 크기의 계산 또는 삼각법에 관한 여러 가지 오래된 기록이 있지만, 삼각법을 체계적으로 연구한 가장 오래 된 학자는 기원전 150년 전 고대 아시아 지역인 미노아의 니케아에서 활동했던 히파르코스이다.

히파르코스는 그리스의 천문학자로, 천체를 조직적으로 관측하고, 그 운동을 수학적으로 풀어 낸 사람으로 알려져 있다. 히파르코스의 저서는 현재 남아 있지 않으나 그의 업적은 프톨레마이오스의 저서 「알마게스트」에 수록되어 후세 천문학의 기초가 되었다.

히파르코스는 현표(각에 대한 현의 길이를 나타내는 표)를 만드는 내용을 수록한 12권의 논문을 썼다고 하여 ‘삼각법의 아버지’라고 불기기도 한다. 고대 천문학자들은 태양과 달을 비롯한 행성들이 원의 궤도를 따라 움직인다고 생각했으므로 원의 현에 대하여 많은 관심을 가지고 있었는데, 이것이 삼각법의 시초가 되었다.

히파르코스는 천문학을 연구하던 중 지구와 달의 거리를 계산하는 과정에서 공의 표면과 같은 면, 즉 구면 위의 두 점 사이의 거리와 각의 크기를 잴 필요를 느껴서 삼각법을 연구하고 사인함수표를 제작하였다. 그리고 기원전 140년 경에 천문학에 삼각법을 응용하여 하늘을 가로지르는 거리를 구했다고 한다.

모든 천문학적인 계산을 정확하게 하기 위해서는 삼각비를 잘 이용하여야 했다. 이것은 사인표가 얼마나 정확한 가에 달려 있었고, 사인표의 작성은 바로 각의 삼등분 문제와 밀접하게 연관되어 있다. 이렇게 고대 그리스 시대에는 천문학적인 관측의 필요에 의해서 삼각법이 발달하였지만, 사인 함수가 처음으로 개념화된 것은 인도인들에 의해서였다. 인도의 과학자이자 수학자인 알콰리즈미(780~850)는 사인표를 만든 최초의 아라비아 수학자였다. 그리고 알콰리즈미 직후에 하바시 알하시브가 탄젠트표를 만들었다.

천문학에서부터 발전한 삼각법은 15세기 독일의 수학자 레기오몬타누스(1436∼1476)가 1464년경에 써서 1533년에 발간된 「삼각법의 모든 것」이란 저서에서 처음으로 천문학에서 분리되었다. 이후 삼각함수는 오일러(1707~1783), 푸리에(1768 ~1830) 등에 이르러 수학의 한 분야로서 다루어지게 되었는데, sin, cos, tan 등과 같은 기호는 스위스의 대수학자인 오일러가 처음으로 그의 책에서 사용하기 시작하였다.

오늘날 삼각함수는 현대 수학은 물론 현대 물리학, 공학 등의 연구에 사용되는 응용 범위가 넓은 학문으로, 가장 실용적이고 중요한 함수로 인정되어 있다.

눈높이 대백과에 나와 있는 내용을 정리해보았습니다!

어렵죠?ㅠ

어쨋거나 우리 실생활에 많이 쓰이고 도움도 되었는데 모르고 가면 안되죠~

중학교 2학년때 닮음에 대해서 배웠죠?

이렇게 선분 AB의 연장선을 긋고, 또 선분 AC의 연장선을 그려봅시다.

그래서 선분 AB에 수직이 되는 선들을 계속해서 그려본다면 위에 식처럼 모든 분수들의 값이 같아요!

그래서 길이가 어떻게 나오더라도 길이의 비가 항상 같기 때문에 사인A, 코사인A, 탄젠트A의 값이 모두 같게 됩니다.

사인과 코사인 탄젠트가 헷갈릴때에는 바로위의 그림 왼쪽에 있는 것을 보세요~

사인의 S, 코사인의 C, 탄젠트의 T를

알파벳 필기체로 생각하시면 시작점이 분모, 끝점이 분자로 들어가서 분수식에 넣으면 된답니다.

피타고라스의 직각삼각형에서 특수각이 되었을때 각 변의 길이의 비 값들 생각 나시나요?

삼각함수에서도 마찬가지로 특수각일경우의 사인 코사인 탄젠트의 값을 알고 있어야 합니다.

제일 많이 쓰이는 삼각형 두개입니다.

첫번째로, 한각의 크기가 45도이고 다른 각이 직각일때 입니다.

항상 길이의 비가 1 : 1 : 루트2가 되죠?

어떠한 길이가 나오더라도 항상 sin45도, cos45도, tan45도의 값은 일정하답니다.

두번째로, 한각의 크기가 60도이고 다른각이 직각일때 입니다.

한각의 크기가 60도 이고 옆의 각이 직각이면, 나머지 한각은 30도가 되겠죠?

항상 길이의 비가 1 : 루트3 : 2 가 됩니다.

그래서 sin60도, cos60도, tan60도와 sin30도, cos30도, tan30도의 값 역시 일정하답니다.

특수각 30도, 45도, 60도 일때의

sin, cos, tan의 값들을 표로 정리해 보았습니다.

이거로 보는거 보다는 맨밑에 0도부터 90도까지 있는거로 보고 외우는게 훨 편하실 거에요^^

포스팅의 맨 밑에 있는 표를 꼭 참고 하시고 외우는 방법을 적어놓을테니 쉽게 외우도록 하세요~

원의 일부분인 부채꼴을 이용한 삼각비의 값을 알아보겠습니다.

30도 45도 60도 일때를 제외한 다른 삼각비를 구할때에는 원의 반지름을 1로 두고 직각 삼각형을 만들어 보면 됩니다.

위의 그림에서 sin50도나 cos50도를 구하려면 선분 OB와 선분 BC, 선분 OC의 길이를 알아야 합니다.

근데 분모 값인 OB의 길이를 1로 놓는다면 sin과 cos값이 각각 선분BC와 선분OC의 길이가 삼각비가 됩니다.^^

tan의 값의 경우에는 직각삼각형의 밑변과 높이를 알아야 하는데

분모인 밑변을 1로 둔다면 선분 DA의 값이 탄젠트의 값이 되겠죠?

이처럼 모눈종이를 이용하면 어림한 삼각비 값이 어떻게 나오는지 알수가 있겠죠??

이런 방법을 이용해 다른 예각의 크기를 알면 그 예각들의 sin, cos, tan의 값을 알수가 있답니다.

이번에는 30도, 45도, 60도일때 말고 0도와 90도 일때의 sin, cos, tan의 값을 알아보려 합니다.

그림에서처럼 분모는 1인 상태를 유지하고 각의 크기를 0도에 가깝게 만들고 90도에 가깝게도 만들어 보겠습니다.

처음에 sin의 경우 각이 점점 작아질수록 선분 BC의 값이 0에 가까워 지는것을 알수 있습니다.

또한 cos의 경우 각이 점점 작아질수록, 선분 OC의 값이 1에 가까워 지는것을 알수 있습니다.

그래서 sin0도 = 0의 값이 되고 cos0도 = 1의 값이 됩니다.

sin과 cos의 값을 90도까지 늘려보았을때엔 BC의 값은 1, OC의 값은 0에 가까워 집니다.

그래서 sin90도 = 1의 값이 되고 cos90도 = 0의 값이 됩니다.

마지막으로 tan의 값에 대해 알아보겠습니다.

tan의 값은 밑변을 1로 둔 상태에서 직각삼각형 빗변의 연장선을 그어 큰직각삼각형을 만들어 보면,

각의 크기가 0에 가까워 지면 선분 DA의 길이는 0에 가까워 지고

각의 크기가 90도에 가까워 지면 선분 DA의 길이는 무한히 커지게 되며 90도가 되었을땐 서로 평행하기 때문에 값을 정할수가 없답니다.^^

특수각이 아닌 다른 예각 들의 크기일때이 삼각비의 값은 이렇게 공업용 계산기로 손쉽게 구할수 있으며,

교과서나 문제지에 맨 뒤쪽을 보시면 삼각비의 표를 이용해 다른 예각의 삼각비를 구할수가 있습니다.

위의 사진에서와 같이 공업용 계산기를 이용해 sin버튼을 먼저 누르고 숫자를 누르면 삼각비를 알수가 있습니다.

이것은 교과서나 문제지에 맨 뒤에 나와있는 삼각비 표를 보고 삼각비의 값을 구하는 방법입니다.

표가 생각보다 보기 쉽게 나와있어 여러분들도 금방 구할수 있을꺼라 생각합니다.^^

제곱근 표 보는 방법과 비슷해요~~

드디어 마지막입니다.

가장 많이 외우는 삼각비의 특수각입니다.

아직 중학교 3학년이면 밑에 표를 보시고, 고등학교 이과 진학 예정인 학생이라면 위에 표를 알고 계시면 좋아요!

이공계의 경우 삼각함수의 반각공식과 배각공식이 있기 때문에 15도와 75도의 값을 알고 있다면 유용하게 쓰인답니다^^

제가 맨 마지막에 쉽게 외우는 방법을 적어놓는다고 했잖아요~

sin의 값을 보시면 0도부터 90도까지 잘 보시기 바랍니다.

0도, 30도, 45도, 60도, 90도

루트0, 루트1, 루트2, 루트3, 루트4

분모는 2로 통일하고 분자의 값만 이렇게 0,1,2,3,4 차례대로 넣어 보세요~

루트0은 0, 루트1은 1, 루트4는 2가 되기 때문에 2/2는 1이 되잖아요~

cos값은 반대로

0도, 30도, 45도, 60도, 90도

루트4, 루트3, 루트2, 루트1, 루트0

마지막으로

tan의 값은 45도를 기준으로 잡으신다음에

30도와 60도의 분모분자 1과 루트3의 값을 서로 바꾸어 보세요~

tan30도는 1/루트3 을 유리화 한것이고, tan60도는 루트3/1로 두고 보시면 쉽게 외울수 있어요~

이상으로 중학교 3학년 과정 삼각비의 포스팅을 마치도록 하겠습니다.

다음 포스팅은 삼각비의 활용을 쉽게 구하는 공식들을 정리해 볼거에요~

그럼 다음에 뵙겠습니다.^^

다들 열공하시고 좋은 성적 거두길 바랍니다!!

위키백과, 우리 모두의 백과사전

원함수는 여기로 연결됩니다. 어떤 함수를 도함수로 하는 함수에 대해서는 는 여기로 연결됩니다. 어떤 함수를 도함수로 하는 함수에 대해서는 부정적분 문서를 참고하십시오.

사인 함수와 코사인 함수

수학에서 삼각함수(三角函數, 영어: trigonometric functions, angle functions, circular functions 또는 goniometric functions)는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인(영어: sine, 문화어: 시누스, 기호 sin {\displaystyle \sin } ) · 코사인(영어: cosine, 문화어: 코시누스, 기호 cos {\displaystyle \cos } ) · 탄젠트(영어: tangent, 문화어: 탕겐스, 기호 tan {\displaystyle \tan } )라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(영어: cosecant, 기호 csc {\displaystyle \csc } ) · 시컨트(영어: secant, 기호 sec {\displaystyle \sec } ) · 코탄젠트(영어: cotangent, 기호 cot {\displaystyle \cot } )라고 한다.

정의 [ 편집 ]
직각 삼각형을 통한 정의 [ 편집 ]
직각 삼각형

C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 a , b , h {\displaystyle a,b,h} 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.

사인: sin ⁡ A = a h {\displaystyle \sin A={\frac {a}{h}}} 코사인: cos ⁡ A = b h {\displaystyle \cos A={\frac {b}{h}}} 탄젠트: tan ⁡ A = a b {\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}}

또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: csc ⁡ A = h a = 1 sin ⁡ A {\displaystyle \csc A={\frac {h}{a}}={\frac {1}{\sin A}}} 시컨트: sec ⁡ A = h b = 1 cos ⁡ A {\displaystyle \sec A={\frac {h}{b}}={\frac {1}{\cos A}}} 코탄젠트: cot ⁡ A = b a = 1 tan ⁡ A {\displaystyle \cot A={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan A}}}

단위원을 통한 정의 [ 편집 ]
삼각 함수

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 에 대해, x {\displaystyle x} 축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 θ {\displaystyle \theta } 라고 하면, 다음과 같이 정의한다

sin ⁡ θ = y r {\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}} cos ⁡ θ = x r {\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}} tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ = y x {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {y}{x}}} sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}} csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}} cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ = cos ⁡ θ sin ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}

복소 삼각함수 [ 편집 ]
오일러의 공식 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \,e^{ix}=\cos x+i\sin x} 에 x = b i {\displaystyle \,x=bi} 를 대입하면,

e − b = cos ⁡ b i + i sin ⁡ b i {\displaystyle \,e^{-b}=\cos bi+i\sin bi}

x = − b i {\displaystyle \,x=-bi} 를 대입하면,

e b = cos ⁡ ( − b i ) + i sin ⁡ ( − b i ) = cos ⁡ b i − i sin ⁡ b i {\displaystyle \,e^{b}=\cos(-bi)+i\sin(-bi)=\cos bi-i\sin bi}

연립하여 풀면, 쌍곡선함수,

cos ⁡ b i = e b + e − b 2 = cosh ⁡ b {\displaystyle \cos bi={\frac {e^{b}+e^{-b}}{2}}=\cosh b} i sin ⁡ b i = − e b + e − b 2 , {\displaystyle i\sin bi={{-e^{b}+e^{-b}} \over 2}\;,} − i sin ⁡ b i = e b − e − b 2 = sinh ⁡ b {\displaystyle -i\sin bi={{e^{b}-e^{-b}} \over 2}=\sinh b}

성질 [ 편집 ]
주기성과 특이점 [ 편집 ]
사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 2 π {\displaystyle 2\pi } 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 에 대하여,

sin ⁡ z = sin ⁡ ( z + 2 π ) {\displaystyle \sin z=\sin(z+2\pi )} cos ⁡ z = cos ⁡ ( z + 2 π ) {\displaystyle \cos z=\cos(z+2\pi )} csc ⁡ z = csc ⁡ ( z + 2 π ) {\displaystyle \csc z=\csc(z+2\pi )} sec ⁡ z = sec ⁡ ( z + 2 π ) {\displaystyle \sec z=\sec(z+2\pi )}

탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 π {\displaystyle \pi } 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 에 대하여,

tan ⁡ z = tan ⁡ ( z + π ) {\displaystyle \tan z=\tan(z+\pi )} cot ⁡ z = cot ⁡ ( z + π ) {\displaystyle \cot z=\cot(z+\pi )}

사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\hat {\infty }}} 에서 본질적 특이점을 갖는다.[1][2]
탄젠트는 실수선의 π / 2 + n π {\displaystyle \pi /2+n\pi } ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } )에서 정의되지 않는다.

사인과 코사인의 그래프

탄젠트 그래프

코시컨트 그래프

특별한 값 [ 편집 ]
단위원 위의 각 점의 좌표

특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

180 ∘ = π r a d {\displaystyle {180^{\circ }}={\pi }\;\mathrm {rad} } 라디안)

특수각 sin cos tan 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} π / 6 {\displaystyle \pi /6} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} 1 / 3 {\displaystyle 1/{\sqrt {3}}} π / 4 {\displaystyle \pi /4} 2 / 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}/2} 2 / 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}/2} 1 {\displaystyle 1} π / 3 {\displaystyle \pi /3} 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} π / 2 {\displaystyle \pi /2} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 정의되지 않음

0º , 90º sin, cos, tan

부호 [ 편집 ]
각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.

사분면 sin과 csc cos과 sec tan와 cot I + + + II + − − III − − + IV − + −

항등식 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 삼각함수 항등식 입니다.

삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 r {\displaystyle r} 인 빗변이고 밑변이 b , {\displaystyle b,} 각 x {\displaystyle x} 의 대변인 높이 a {\displaystyle a} 에 대하여 a 2 + b 2 r 2 = r 2 r 2 = 1 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}={\frac {r^{2}}{r^{2}}}=1} 를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \,\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}

이것은 다음과 같다.

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} ( a r ) 2 + ( b r ) 2 = 1 {\displaystyle \left({a \over r}\right)^{2}+\left({b \over r}\right)^{2}=1} ( a 2 r 2 ) + ( b 2 r 2 ) = 1 {\displaystyle \left({a^{2} \over r^{2}}\right)+\left({b^{2} \over r^{2}}\right)=1} a 2 + b 2 r 2 = r 2 r 2 = 1 {\displaystyle {a^{2}+b^{2} \over r^{2}}={r^{2} \over r^{2}}=1} a 2 + b 2 = r 2 = 1 ∵ r = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=r^{2}=1\;\because \;r=1}

따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다.

( 3 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 = 1 {\displaystyle \left({{\sqrt {3}} \over 2}\right)^{2}+\left({1 \over 2}\right)^{2}=1}

삼각함수의 덧셈정리 [ 편집 ]
서로 다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

sin ⁡ ( x ± y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y ± cos ⁡ x sin ⁡ y , {\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,} cos ⁡ ( x ± y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y ∓ sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

sin cos tan cot sec csc sin sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} 1 − cos 2 ⁡ x {\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} ( tan ⁡ x ) / 1 + tan 2 ⁡ x {\displaystyle (\tan x)/{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}} 1 / cot 2 ⁡ x + 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} sec 2 ⁡ ( x ) − 1 / ( sec ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}/(\sec x)} 1 / ( csc ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\csc x)} cos 1 − sin 2 ⁡ x {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 1 / 1 + tan 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle 1/{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}} ( cot ⁡ x ) / cot 2 ⁡ x + 1 {\displaystyle (\cot x)/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} 1 / ( sec ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\sec x)} csc 2 ⁡ x − 1 / ( csc ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}/(\csc x)} tan ( sin ⁡ x ) / 1 − sin 2 ⁡ x {\displaystyle (\sin x)/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} 1 − cos 2 ⁡ x / ( cos ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}/(\cos x)} tan ⁡ x {\displaystyle \tan x} 1 / ( cot ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\cot x)} sec 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} 1 / csc 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {\csc ^{2}x-1}}} cot 1 − sin 2 ⁡ x / ( sin ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}/(\sin x)} ( cos ⁡ x ) / 1 − cos 2 ⁡ x {\displaystyle (\cos x)/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} 1 / ( tan ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\tan x)} cot ⁡ ( x ) {\displaystyle \cot(x)} 1 / sec 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} csc 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}} sec 1 / 1 − sin 2 ⁡ x {\displaystyle 1/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} 1 / ( cos ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\cos x)} 1 + tan 2 ⁡ x {\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}} cot 2 ⁡ x + 1 / ( cot ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}/(\cot x)} sec ⁡ x {\displaystyle \sec x} ( csc ⁡ x ) / csc 2 ⁡ ( x ) − 1 {\displaystyle (\csc x)/{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}} csc 1 / ( sin ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\sin x)} 1 / 1 − cos 2 ⁡ x {\displaystyle 1/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} 1 + tan 2 ⁡ x / ( tan ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}/(\tan x)} cot 2 ⁡ x + 1 {\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} ( sec ⁡ x ) / sec 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle (\sec x)/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} csc ⁡ x {\displaystyle \csc x}

미분과 적분 [ 편집 ]
다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 도함수 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 부정적분 ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int f(x)\,dx} sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} − cos ⁡ x + C {\displaystyle -\cos x+C} cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} − sin ⁡ x {\displaystyle -\sin x} sin ⁡ x + C {\displaystyle \sin x+C} tan ⁡ x {\displaystyle \tan x} sec 2 ⁡ x {\displaystyle \sec ^{2}x} − ln ⁡ | cos ⁡ x | + C {\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C} cot ⁡ x {\displaystyle \cot x} − csc 2 ⁡ x {\displaystyle -\csc ^{2}x} ln ⁡ | sin ⁡ x | + C {\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C} sec ⁡ x {\displaystyle \sec x} sec ⁡ x tan ⁡ x {\displaystyle \sec {x}\tan {x}} ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C} csc ⁡ x {\displaystyle \csc x} − csc ⁡ x cot ⁡ x {\displaystyle -\csc {x}\cot {x}} ln ⁡ | csc ⁡ x − cot ⁡ x | + C {\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C}

응용 [ 편집 ]
사인 법칙 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 사인 법칙 입니다.

사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

sin ⁡ A a = sin ⁡ B b = sin ⁡ C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}

마찬가지로,

a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

코사인 법칙 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 코사인 법칙 입니다.

코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

코사인 제 1 법칙에 따르면,

c = b cos ⁡ A + a cos ⁡ B {\displaystyle c=b\cos A+a\cos B}

양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

cos ⁡ C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

탄젠트 법칙 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 탄젠트 법칙 입니다.

탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

a + b a − b = tan ⁡ 1 2 ( A + B ) tan ⁡ 1 2 ( A − B ) {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(A+B)}}{\tan {{1 \over 2}(A-B)}}}}

역사 [ 편집 ]
기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다.

현재 쓰는 것과 같은 삼각함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.[3]
삼각함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.

어원 [ 편집 ]
영어 ‘사인(sine)’은 라틴어 sinus에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 جَيْب(jayb)를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 ज्या(jyā, 베다 jiyā́)를 음차한 것이다.

‘탄젠트(tangent)’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 tangens에서 왔고, ‘시컨트(secant)’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 secans에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.

코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 에드먼드 건터(영어판)의 Canon triangulorum(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(sinus complementi)을 ‘코사인(cosinus)’으로 줄여 부른 것이다.

한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 요한 슈렉(영어판)이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 정현(正弦)·여현(餘弦)·정절(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 여절(餘切)·정할(正割)·여할(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.

같이 보기 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]

[수학I] 14. 삼각함수의 뜻, 사인(sin) 코사인(cos) 탄젠트(tan) 값 구하는 방법 (개념+수학문제)

| 같이 보면 좋은 글

📄 [수학I] 시초선, 동경, 일반각

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| 삼각함수란?

삼각함수는 동경의 크기에 따라 변화하는 함수입니다.

동경위의 점과 원점, x축에 내린 발이 직각삼각형 을 이루기 때문에 삼각함수라고 부릅니다.

위 그림에서 각의 크기가 θ인 동경 OX는 점 X(x,y)를 지납니다.

선분 OX의 길이를 r이라고 약속하면,

다음과 같은 삼각함수를 가집니다.

예) 점 X(-4,3)을 지나는 동경에 대하여 각의 크기를 θ라 할 때,

sinθ, cosθ, tanθ를 구해봅시다.

동경을 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

선분 OX의 길이를 r이라고 놓으면,

r^2 = 3^2 + (-4)^2 r^2 = 25r = 5입니다.

x=-4, y=3, r=5이므로,

입니다.

| 호도법으로 주어졌을 때 삼각함수 값 구하기

호도법으로 주어졌을 때 삼각함수는 어떻게 구할 수 있을까요?

호도법으로 나타낸 값을 육십분법으로 고치면 다음과 같습니다.

중학교에서 배웠던 삼각비를 되돌아보면 다음과 같습니다.

이를 호도법으로 고치면 다음 표로 나타낼 수 있습니다.

이를 활용하면 각이 음수이거나 직각보다 큰 각의 삼각함수를 구할 수 있습니다.
[참고] 동경이 위치한 사분면에 따라 삼각함수의 부호가 달라집니다.

제 1사분면 : 모두(sin, cos, tan)

제 2사분면 : sin

제 3사분면 : tan

제 4사분면 : cos

이 양의 부호를 가집니다.

예)

| 학습지 미리보기

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2020SP H2-14.pdf 0.15MB

| 닫는 말

이번 학습지는 동경으로 주어졌을 때 삼각함수를 구하는 문제와,

호도법으로 주어진 삼각함수의 값을 구하는 문제로 각각 10문제씩 구성했습니다.

동경을 좌표로 나타내어본 후, 삼각함수의 값을 구해보세요.

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