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조조쌤 중3수학 특수각에서의 삼각비! sin30, sin45, sin60값을 알아봅시다~

특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60° – 수학방

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특수한 각의 삼각비 30°45° 60°

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[삼각함수 기초 #3] sinθ, cosθ, tanθ 기본적인 값 구하기 (30˚, 45˚, 60˚)

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특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°

삼각비 중에서도 특수한 각의 삼각비를 구할 거예요.

피타고라스의 정리에서 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비라는 걸 배웠지요? 특별한 삼각형에서 세 변의 길이에는 일정한 비가 성립한다는 내용이었어요.

삼각비는 삼각형 세 변의 길이의 비예요. 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비도 길이의 비이므로 삼각비에서 하나도 바꾸지 않고 그대로 사용할 수 있어요.

특수한 삼각형의 세 변의 길이를 삼각비로 바꾸면 어떻게 되는지 알아보죠.

sin45°, cos45°, tan45°

직각이등변삼각형의 내각은 45°, 45° 90°에요. 직각이등변삼각형을 이용해서 45°의 sin, cos, tan 값을 구해볼까요?

먼저 직각이등변삼각형을 그려볼게요. 세 변의 길이의 비가 1 : 1 : 니까 이걸 길이로 써보면 아래 그림처럼 돼요.

sin45° = cos45° = 이고, tan45° = 1이에요. 분모에 무리수가 있으면 유리화해서 사용해야 하는 건 기본이죠?

sin30°, cos30°, tan30°

직각삼각형 한 내각의 크기가 30°이면 다른 각은 60°, 90°가 돼요. 이 삼각형의 세 변의 길이의 비는 1 : : 2이지요. 이 길이의 비를 이용해서 삼각형을 그려보죠.

삼각비를 쉽게 구할 수 있게 각의 위치를 잡았어요. 삼각비를 구해보죠.

sin60°, cos60°, tan60°

직각삼각형의 한 각이 60°면 다른 한 각은 30°가 되겠죠? 즉, 위 30°에 대한 삼각비를 구했던 삼각형과 같은 삼각형이에요. 같은 삼각형인데 삼각비를 쉽게 구할 수 있게 방향을 돌려서 그리는 게 좋겠죠?

30°에 대한 삼각비와 60°에 대한 삼각비는 같은 삼각형에서 구해요. 차이가 있다면 기준각에 따라 밑변과 높이를 나타내는 변이 달라지는 거지요.

빗변은 기준각이 30°일 때와 60°일 때 모두 똑같아요. 기준각이 30°일 때 밑변이었던 것이 기준각이 60°일 때는 높이로 바뀌죠. 또 30°일 때 높이였던 게 60°일 때는 밑변이 되는 거고요.

이런 이유로 30°의 삼각비와 60°의 삼각비는 관계가 깊어요.

sin30° = cos60°, cos30° = sin60°가 됩니다. 또 tan30° = 가 됩니다. 서로 역수인 거죠.

특수한 각의 삼각비

특수한 각의 삼각비 30° 45° 60° sin cos tan

표로 정리했더니 특징이 더 잘 보이죠? 45°에서는 sin과 cos이 같아요.

sin30°와 cos60°가 같고, cos30°와 sin60°가 같고, tan30°와 tan60°는 서로 역수이죠.

위 표에 나온 삼각비는 아주 중요합니다. 삼각비 중에 가장 많이 나오는 거거든요. 그러면 외워야 하는 데 값이 비슷해서 외우기가 힘들어요.

처음부터 외우려고 하지 말고, 이 글에 있는 것처럼 삼각형을 그리고, 세 변의 길이의 비를 이용해서 변의 길이를 쓴 다음에, sin, cos, tan를 구하는 게 좋아요. 이렇게 자주 하다 보면 자기도 모르게 그 값들이 외워지게 되어 있어요.

다음 그림을 보고 x, y의 값을 구하여라.

기준각을 60°로 잡으면 sin60° = = 이므로 y =

cos60° = = 이므로 x = 2가 되네요.

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직각삼각형 변의 길이 – 삼각비 이용

정리해볼까요 특수한 각의 삼각비 sin45° = cos45° = , tan45° = 1

, tan45° = 1 sin30° = , cos30° = , tan30° =

, cos30° = , tan30° = sin60° = , cos60° = , tan60° =

그리드형(광고전용)

[삼각함수 기초 #3] sinθ, cosθ, tanθ 기본적인 값 구하기 (30˚, 45˚, 60˚)

안녕하세요. 쏘쏘입니다.

교과 과정에서 cos/sin/tan의 의미를 배우게 되면 기본 각도들에 대한 값을 먼저 배울 겁니다.

대학에서는 cos30˚, 45˚, 60˚ 의 값에 대해서도 굳이 외우지 않아도 됩니다. 공학용 계산기를 사용해서 풀거든요.

왜냐면 대학에서는 위의 기본 각도 외에 수많은 각도에 대해서 계산을 해야 하는데 31˚는 얼마, 42˚는 얼마인지 모두 다 외울 수가 없거든요.

중학교, 고등학교에서는 기본 각도에 대한 값은 알고 있어야 할 겁니다. 아주 오래전이지만 저의 학창 시절에 시험에도 나오고 했던 기억이 있거든요. 그래서 이번 시간에는 cos60˚= 1/2, tan60˚=√3 등 기본적인 각도에 대한 값들에 대해 쉽게 이해할 수 있게 알려 드리겠습니다.

우선 삼각형을 그려보겠습니다.

삼각함수 삼각형 예시

먼저 왼쪽과 같이 각 변의 길이가 2인 정삼각형을 그리고 가운데 그림과 같이 삼각형을 반으로 나누었습니다. (변의 길이가 1인 정삼각형이 아니라 길이가 2인 삼각형을 그린 이유는, 개인적인 생각이지만 변의 길이가 1일 때보다 이해하기 더 쉬워서입니다.)

정삼각형을 반으로 나누었으니까 밑변의 길이는 1이 되고, 빗변의 길이는 그대로 2입니다.

그렇다면 높이는 어떻게 구할까요? 피타고라스의 정리 빗변²=밑변²+ 높이²를 활용하면 높이가 √3 이 되는 걸 알 수 있습니다.

이렇게 반으로 나눈 삼각형에서 cos, sin, tan의 30˚, 60˚ 값을 구할 수 있습니다.

먼저 가운데 삼각형을 기준으로 cos60˚, sin60˚, tan60˚를 구하면,

→ cos60˚=1/2, sin60˚=√3/2, tan60˚=√3이 됩니다.

그리고 오른쪽 그림처럼 길이 √3인 변을 밑변으로 생각하고 삼각형을 돌려봅시다. 그러면 높이 1이고 빗변이 2가되지요.

이제 이 상태에서 cos30˚, sin30˚, tan30˚을 구하면,

→ cos30˚=√3/2, sin30˚=1/2, tan30˚=1/√3이 됩니다.

이제 cos45˚, sin45˚, tan45˚에 대한 삼각형을 그려봅시다.

45도 이등변 삼각형

밑변과 높이가 1인 삼각형을 그립니다. 그렇게 되면 빗변은 자연스레 √2가 됩니다.

그럼 여기서 cos45˚=1/√2, sin45˚=1/√2, tan45˚=1 임을 알 수 있습니다.

이번에 다루지 않은 0˚, 90˚, 180˚ 등에 대해서도 추가로 포스팅하겠습니다.

도움이 되셨기를 바라며, 다른 주제로 다시 찾아뵙겠습니다.

– by 쏘쏘 –
[관련 글] – [삼각함수 기초 #1] cosθ, sinθ, tanθ 란 ???
[관련 글] – [삼각함수 기초 #2] cosθ, sinθ, tanθ의 역수 secθ, cosecθ, cotθ에 대하여
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[관련 글] – [삼각함수 기초 #5] 삼각함수 각도 변환 cos(90˚-θ), sin(90˚-θ), tan(90˚-θ) 값 구하기

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삼각함수 특수각 표 및 증명

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삼각함수 특수각 표

삼각함수 계산시 자주 쓰이는 각도는 0도, 30도, 45도, 60도, 90도 입니다.

이 각도들을 특수각이라고 하고,

이 특수각에 대한 삼각함수 값은 문제에서 일일이 값을 가르쳐주지 않기 때문에 잘 외워둬야 합니다.

특수각에 대한 삼각함수값을 표로 정리하면 아래와 같습니다.

삼각함수 특수각 증명

삼각함수의 특수각이 나오게 된 이유는 특수각들이 직각삼각형에서 많이 쓰이는 각이기 때문입니다.

i) sin45˚, cos45˚, tan45˚ 의 증명

sin45˚, cos45˚, tan45˚ 의 증명 직각이등변삼각형을 토대로 쉽게 증명 가능합니다.

위 직각 이등변 삼각형에서 선분 BC의 길이(=선분AC의 길이)를 1로 보면,

빗변AB의 길이는 피타고라스의 정리를 이용해 구할 수 있습니다.

위 그림으로부터 45˚에 관한 삼각비를 구할 수 있습니다.

ii) sin30˚, cos30˚, tan30˚ 및 sin60˚, cos60˚, tan60˚의 증명

sin30˚, cos30˚, tan30˚및 sin60˚, cos60˚, tan60˚의 증명은

반원의 원주각 및 외각의 성질로 증명 가능합니다.

위 그림은 두 내각이 각각 30˚와 60˚인 직각삼각형과 그 외접원입니다.

직각삼각형의 외심(외접원의 중심)은 직각삼각형 빗변의 중점이라는 게 알려져있습니다.

따라서 외심 O는 점 A와 B의 중점입니다.

또한 선분 OA, OB, OC는 모두 외접원의 반지름으로 모두 같습니다.

(반지름의 길이를 임의로 1로 두겠습니다.)

삼각형 OBC는 이등변 삼각형이 되는군요. 따라서 ∠OBC와 ∠OCB는 30˚로 서로 같습니다.

한편, ∠COA는 삼각형OBC의 외각으로, ∠OBC와 ∠OCB의 합과 같습니다.

이를 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.

삼각형 AOC를 보면 ∠OAC=∠AOC=∠OCA=60˚인 정삼각형이 됩니다.

따라서 변AC는 외접원의 반지름인 1과 같습니다.

원래의 직각삼각형 ABC를 보면, 빗변인 AB의 길이가 2, 높이인 AC의 길이가 1임을 알 수 있습니다.

피타고라스의 정리를 쓰면 밑변 BC의 길이를 구할 수 있습니다.

정리하면 다음 그림처럼 되고,

그림으로부터 sin30˚, cos30˚, tan30˚ 및 sin60˚, cos60˚, tan60˚ 를 구할 수 있습니다.

증명 완료//

특수각에 대한 삼각함수 값 정도는 외워둬야 실전에 활용할 수 있습니다.

단순한 암기도 중요하지만 왜 그런 값이 나오는지에 대해 고민해보고 위의 방식처럼 유도해보는 것도 좋은 공부방법이라 할 수 있겠습니다.

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특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60° – 수학방

각도에 따른 삼각함수 값 + 외우기 팁

[삼각함수 기초 #3] sinθ, cosθ, tanθ 기본적인 값 구하기 (30˚, 45˚, 60˚)

삼각함수 특수각 표 및 증명

코사인 30

특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°

[삼각함수 기초 #3] sinθ, cosθ, tanθ 기본적인 값 구하기 (30˚, 45˚, 60˚)

삼각함수 특수각 표 및 증명

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