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기하학에서 코사인 법칙(cosine法則, 영어: law of cosines)은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다.
코사인 법칙 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
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정의[편집]
역사[편집]
증명[편집]
비유클리드 기하학의 경우[편집]
같이 보기[편집]
각주[편집]
외부 링크[편집]
삼각함수 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
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정의[편집]
성질[편집]
응용[편집]
역사[편집]
어원[편집]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]
참고[편집]
여각의 사인과 코사인 (개념 이해하기) | 삼각비의 역수 | Khan Academy
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삼각비의 역수
삼각비의 역수
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코사인 제1법칙 :: winner
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코사인 제1법칙
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기하학에서 코사인 법칙(cosine法則, 영어: law of cosines)은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다.
정의 [ 편집 ]
A , B , C {\displaystyle A,B,C} a , b , c {\displaystyle a,b,c} 삼각형의 세 각및 이들이 마주하는 변
삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 각 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 가 마주하는 변이 각각 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 라고 하면, 다음이 성립한다.
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}
여기서 cos {\displaystyle \cos } 은 삼각 함수의 하나인 코사인이다. 이를 코사인 법칙이라고 한다.[1]
코사인 법칙을 통해 삼각형의 두 변과 그 사잇각으로부터 제3의 변을 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변으로부터 세 각을 다음과 같이 구할 수 있다.[1]
cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
코사인 법칙에서 C {\displaystyle C} 가 직각일 경우, cos C = 0 {\displaystyle \cos C=0} 이므로, 다음과 같은 피타고라스의 정리를 얻는다.[1]
c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
역사 [ 편집 ]
유클리드의 《원론》 2권 명제12 및 명제 13은 코사인 법칙과 동치인 명제를 서술한다.
명제12
둔각 삼각형에서, 둔각을 마주하는 변 위의 정사각형은 둔각을 이루는 변들 위의 정사각형들(의 합)보다 수직 (직선)이 내려진 둔각의 변, 그리고 둔각을 향한 수직 (직선)에 의해 (삼각형의) 밖에서 절단된 (직선)이 이루는 (직사각형)의 두 배만큼 많다.
Proposition 12†
In obtuse-angled triangles, the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the (sum of the) squares on the sides containing the obtuse angle by twice the (rectangle) contained by one of the sides around the obtuse angle, to which a perpendicular (straight-line) falls, and the (straight-line) cut off outside (the triangle) by the perpendicular (straight-line) towards the obtuse angle. — [2]
명제13
예각 삼각형에서, 예각을 마주하는 변 위의 정사각형은 예각을 이루는 변들 위의 정사각형들(의 합)보다 수직 (직선)이 내려진 예각의 변, 그리고 예각을 향하는 수직 (직선)에 의해 (삼각형의) 안에서 절단된 (직선)이 이루는 (직사각형)의 두 배만큼 적다.
Proposition 13†
In acute-angled triangles, the square on the side subtending the acute angle is less than the (sum of the) squares on the sides containing the acute angle by twice the (rectangle) contained by one of the sides around the acute angle, to which a perpendicular (straight-line) falls, and the (straight-line) cut off inside (the triangle) by the perpendicular (straight-line) towards the acute angle. — [2]
레기오몬타누스는 1462~3년에 작성한 《삼각형에 대하여》(라틴어: De Triangulis)에서 (제1) 구면 코사인 법칙을 제시하였다.[3] 프랑수아 비에트는 1579년 저서 《표준 수학》(라틴어: Canon Mathematicus)에서 제2 구면 코사인 법칙을 제시하였다.[3]
증명 [ 편집 ]
유클리드의 《원론》에서의 증명 [ 편집 ]
그림과 같이, C {\displaystyle C} 를 둔각으로 하는 둔각 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 높이선 B H {\displaystyle BH} 를 긋자. 그렇다면, A B H {\displaystyle ABH} 는 H {\displaystyle H} 를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, 피타고라스의 정리에 따라 다음이 성립한다.
A B 2 = A H 2 + B H 2 {\displaystyle AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}}
또한, A H = A C + C H {\displaystyle AH=AC+CH} 이므로, 다음이 성립한다.
A B 2 = ( A C + C H ) 2 + B H 2 = A C 2 + 2 ( A C ) ( C H ) + C H 2 + B H 2 {\displaystyle AB^{2}=(AC+CH)^{2}+BH^{2}=AC^{2}+2(AC)(CH)+CH^{2}+BH^{2}}
마지막 두 항을 직각 삼각형 B C H {\displaystyle BCH} 에 대한 피타고라스의 정리를 통해 정리하면 다음을 얻는다.
A B 2 = A C 2 + 2 ( A C ) ( C H ) + B C 2 {\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+2(AC)(CH)+BC^{2}}
이로써 유클리드의 《원론》 2권 명제12가 증명된다. 코사인의 정의에 따라
cos C = − cos ( π − C ) = − C H B C {\displaystyle \cos C=-\cos(\pi -C)=-{\frac {CH}{BC}}}
이므로, 코사인 법칙
A B 2 = A C 2 + B C 2 − 2 ( A C ) ( B C ) cos C {\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2(AC)(BC)\cos C}
이 C {\displaystyle C} 가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다.[2] C {\displaystyle C} 가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다.
삼각법을 통한 증명 [ 편집 ]
코사인 법칙의 삼각법 을 통한 증명
삼각형의 세 변을 각각 높이선으로 안에서 또는 밖에서 나누면 다음을 얻는다.[4]
a = b cos C + c cos B {\displaystyle a=b\cos C+c\cos B} b = a cos C + c cos A {\displaystyle b=a\cos C+c\cos A} c = a cos B + b cos A {\displaystyle c=a\cos B+b\cos A}
세 등식의 양변에 각각 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 를 곱하면 다음을 얻는다.
a 2 = a b cos C + a c cos B {\displaystyle a^{2}=ab\cos C+ac\cos B} b 2 = a b cos C + b c cos A {\displaystyle b^{2}=ab\cos C+bc\cos A} c 2 = a c cos B + b c cos A {\displaystyle c^{2}=ac\cos B+bc\cos A}
이제 첫째 등식에 둘째 등식을 더한 뒤 셋째 등식을 빼면 다음을 얻는다.
a 2 + b 2 − c 2 = 2 a b cos C {\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=2ab\cos C}
이로써 코사인 법칙이 증명된다.
벡터와 스칼라곱을 사용한 증명 [ 편집 ]
다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
a = C B → , b = C A → , c = A B → = a − b {\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {CB}},\;\mathbf {b} ={\overrightarrow {CA}},\;\mathbf {c} ={\overrightarrow {AB}}=\mathbf {a} -\mathbf {b} }
그렇다면, 벡터 a , b , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } 의 길이는 각각 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 이며, 벡터 a {\displaystyle \mathbf {a} } 와 b {\displaystyle \mathbf {b} } 사이의 각도는 C {\displaystyle C} 이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.[5]
c 2 = c ⋅ c = ( a − b ) ⋅ ( a − b ) = a ⋅ a + b ⋅ b − 2 a ⋅ b = a 2 + b 2 − 2 a b cos C {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\end{aligned}}}
비유클리드 기하학의 경우 [ 편집 ]
구면 코사인 법칙 [ 편집 ]
A , B , C {\displaystyle A,B,C} a , b , c {\displaystyle a,b,c} 구면 삼각형의 세 각와 이들이 마주하는 세 변
단위 구면 위의 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 각 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 가 마주하는 세 변이 각각 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 라고 하면, 다음이 성립한다.
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C {\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C}
여기서 cos , sin {\displaystyle \cos ,\sin } 은 각각 코사인, 사인이다. 이를 (제1) 구면 코사인 법칙(第一球面cosine法則, 영어: (first) spherical law of cosines)이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다.
cos C = − cos A cos B + sin A sin B cos c {\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c}
이를 제2 구면 코사인 법칙(第二球面cosine法則, 영어: second spherical law of cosines)이라고 한다.
이 둘은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.
cos C = cos c − cos a cos b sin a sin b {\displaystyle \cos C={\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}} cos c = cos C + cos A cos B sin A sin B {\displaystyle \cos c={\frac {\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}}
제1 구면 코사인 법칙의 증명 (법벡터 사용) [ 편집 ]
다음과 같은 벡터들을 정의하자.
u = O A → − ( O C → ⋅ O A → ) O C → | O A → − ( O C → ⋅ O A → ) O C → | , v = O B → − ( O C → ⋅ O B → ) O C → | O B → − ( O C → ⋅ O B → ) O C → | {\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}}}{|{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}}|}},\;\mathbf {v} ={\frac {{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}}}{|{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}}|}}}
즉, u , v {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} } 는 각각 C {\displaystyle C} 에서 A , B {\displaystyle A,B} 를 향하는 구면의 단위 접벡터이다. 그렇다면, u , v {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} } 사이의 각도는 C {\displaystyle C} 이다. 또한, { O C → , u } , { O C → , v } {\displaystyle \{{\overrightarrow {OC}},\mathbf {u} \},\{{\overrightarrow {OC}},\mathbf {v} \}} 는 각각 평면 O A C , O A B {\displaystyle OAC,OAB} 의 정규 직교 기저를 이루므로, O A → , O B → {\displaystyle {\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}}} 를 각각 다음과 같이 분해할 수 있다.
O A → = cos a ⋅ O C → + sin a ⋅ u {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}=\cos a\cdot {\overrightarrow {OC}}+\sin a\cdot \mathbf {u} } O B → = cos b ⋅ O C → + sin b ⋅ v {\displaystyle {\overrightarrow {OB}}=\cos b\cdot {\overrightarrow {OC}}+\sin b\cdot \mathbf {v} }
따라서, 다음이 성립한다.
cos c = O A → ⋅ O B → = ( cos a ⋅ O C → + sin a ⋅ u ) ⋅ ( cos b ⋅ O C → + sin b ⋅ v ) = cos a cos b + sin a sin b cos C {\displaystyle {\begin{aligned}\cos c&={\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}\\&=(\cos a\cdot {\overrightarrow {OC}}+\sin a\cdot \mathbf {u} )\cdot (\cos b\cdot {\overrightarrow {OC}}+\sin b\cdot \mathbf {v} )\\&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\end{aligned}}}
제1 구면 코사인 법칙의 증명 (비네-코시 항등식 사용) [ 편집 ]
단위 구면의 중심을 O {\displaystyle O} 라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
a = O A → , b = O B → , c = O C → {\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}},\;\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}},\;\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}}
그렇다면, a , b , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } 의 길이는 모두 1이며, a , b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} } 사이의 각도는 c {\displaystyle c} 이며, a , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {c} } 사이의 각도는 b {\displaystyle b} 이며, b , c {\displaystyle \mathbf {b} ,\mathbf {c} } 사이의 각도는 a {\displaystyle a} 이다. 따라서, 벡터곱 a × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } , a × c {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {c} } , b × c {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 의 길이는 각각 sin c {\displaystyle \sin c} , sin b {\displaystyle \sin b} , sin a {\displaystyle \sin a} 이다. 또한, a × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } 와 a × c {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {c} } 사이의 각도는 A {\displaystyle A} 이며, b × a {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {a} } 와 b × c {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 사이의 각도는 B {\displaystyle B} 이며, c × a {\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {a} } 와 c × b {\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {b} } 사이의 각도는 C {\displaystyle C} 이다. 이제, 비네-코시 항등식에 따라 다음이 성립함에 주의하자.
( c × b ) ⋅ ( c × a ) = ( c ⋅ c ) ( a ⋅ b ) − ( c ⋅ b ) ( c ⋅ a ) {\displaystyle (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )}
여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다.
sin a sin b cos C = cos c − cos a cos b {\displaystyle \sin a\sin b\cos C=\cos c-\cos a\cos b}
이로써 제1 구면 코사인 법칙이 증명된다.
제2 구면 코사인 법칙의 증명 [ 편집 ]
구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 극삼각형을 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A’B’C’} 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
a ′ = π − A , b ′ = π − B , c ′ = π − C {\displaystyle a’=\pi -A,\;b’=\pi -B,\;c’=\pi -C} A ′ = π − a , B ′ = π − b , C ′ = π − c {\displaystyle A’=\pi -a,\;B’=\pi -b,\;C’=\pi -c}
따라서 제1 구면 코사인 법칙을 극삼각형 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A’B’C’} 에 적용하면, 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 제2 구면 코사인 법칙을 얻는다.
쌍곡 코사인 법칙 [ 편집 ]
가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 각 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 이 마주하는 변이 각각 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 라고 하면, 다음이 성립한다.
cosh c = cosh a cosh b − sinh a sinh b cos C {\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C}
여기서 cosh , sinh {\displaystyle \cosh ,\sinh } 는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 (제1) 쌍곡 코사인 법칙((第一)雙曲cosine法則, 영어: (first) hyperbolic law of cosines)이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.
cos C = − cos A cos B + sin A sin B cosh c {\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c}
이를 제2 쌍곡 코사인 법칙(第二雙曲cosine法則, 영어: second hyperbolic law of cosines)이라고 한다.
이 두 법칙은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.[6]
cos C = cosh a cosh b − cosh c sinh a sinh b {\displaystyle \cos C={\frac {\cosh a\cosh b-\cosh c}{\sinh a\sinh b}}} cosh c = cos A cos B + cos C sin A sin B {\displaystyle \cosh c={\frac {\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B}}}
특히, C {\displaystyle C} 가 직각일 경우의 제1 쌍곡 코사인 법칙은 쌍곡 피타고라스 정리가 된다.[6]
cosh c = cosh a cosh b {\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b}
제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명 [ 편집 ]
복소 평면 C {\displaystyle \mathbb {C} } 위의 열린 단위 원판 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 위에서 푸앵카레 원판 모형을 취하자. 쌍곡 삼각형 z 1 , z 2 , z 3 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} 의 세 각의 크기를 A , B , C {\displaystyle A,B,C} , 세 변의 길이를 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 라고 하자. D {\displaystyle D} 위에 적절한 등거리 변환을 가하여 z 3 , z 2 , z 1 {\displaystyle z_{3},z_{2},z_{1}} 을 각각 원점 0, 양의 실수 r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}} , 허수부 Im z > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z>0} 가 0보다 큰 복소수 z {\displaystyle z} 로 옮길 수 있다. 등거리 변환의 성질에 따라 새로운 삼각형 z , r , 0 {\displaystyle z,r,0} 의 세 변 및 세 각은 원래의 삼각형 z 1 , z 2 , z 3 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} 와 같으므로, 새로운 삼각형 z , r , 0 {\displaystyle z,r,0} 에 대하여 증명하는 것으로 족하다. 쌍곡 거리의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다.
a = ln 1 + r 1 − r {\displaystyle a=\ln {\frac {1+r}{1-r}}} b = ln 1 + | z | 1 − | z | {\displaystyle b=\ln {\frac {1+|z|}{1-|z|}}} c = ln | 1 − r z | + | z − r | | 1 − r z | − | z − r | {\displaystyle c=\ln {\frac {|1-rz|+|z-r|}{|1-rz|-|z-r|}}}
여기서 ln {\displaystyle \ln } 은 자연 로그이며, | − | {\displaystyle |-|} 은 복소수의 절댓값이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다.
tanh a 2 = r {\displaystyle \tanh {\frac {a}{2}}=r} tanh b 2 = | z | {\displaystyle \tanh {\frac {b}{2}}=|z|} tanh c 2 = | z − r | | 1 − r z | {\displaystyle \tanh {\frac {c}{2}}={\frac {|z-r|}{|1-rz|}}}
여기서 tanh {\displaystyle \tanh } 는 쌍곡 탄젠트이다. 쌍곡선 함수의 항등식을 사용한 뒤 위의 결과를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.
cosh c = 2 sinh 2 c 2 + 1 = 2 tanh 2 c 2 1 − tanh 2 c 2 + 1 = 2 | z − r | 2 | 1 − r z | 2 − | z − r | 2 + 1 = 2 r 2 + | z | 2 − 2 r z cos C ( 1 − r 2 ) ( 1 − | z | 2 ) + 1 = ( 1 + r 2 ) ( 1 + | z | 2 ) − 4 r z cos C ( 1 − r 2 ) ( 1 − | z | 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh c&=2\sinh ^{2}{\frac {c}{2}}+1\\&=2{\frac {\tanh ^{2}{\frac {c}{2}}}{1-\tanh ^{2}{\frac {c}{2}}}}+1\\&=2{\frac {|z-r|^{2}}{|1-rz|^{2}-|z-r|^{2}}}+1\\&=2{\frac {r^{2}+|z|^{2}-2rz\cos C}{(1-r^{2})(1-|z|^{2})}}+1\\&={\frac {(1+r^{2})(1+|z|^{2})-4rz\cos C}{(1-r^{2})(1-|z|^{2})}}\end{aligned}}}
넷째 등호에서 분자 부분은 평면 삼각형 z , r , 0 {\displaystyle z,r,0} 에 대한 평면 코사인 법칙에 따르며, 분모 부분은 절댓값이 실수부와 허수부의 제곱합임에 따라 계산할 수 있다. 이제, 여기에 다음을 대입하면 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명이 완성된다.[6]
cosh a = 1 + tanh 2 a 2 1 − tanh 2 a 2 = 1 + r 2 1 − r 2 {\displaystyle \cosh a={\frac {1+\tanh ^{2}{\frac {a}{2}}}{1-\tanh ^{2}{\frac {a}{2}}}}={\frac {1+r^{2}}{1-r^{2}}}} sinh a = 2 tanh a 2 1 − tanh 2 a 2 = 2 r 1 − r 2 {\displaystyle \sinh a={\frac {2\tanh {\frac {a}{2}}}{1-\tanh ^{2}{\frac {a}{2}}}}={\frac {2r}{1-r^{2}}}} cosh b = 1 + | z | 1 − | z | {\displaystyle \cosh b={\frac {1+|z|}{1-|z|}}} sinh b = 2 | z | 1 − | z | 2 {\displaystyle \sinh b={\frac {2|z|}{1-|z|^{2}}}}
제2 쌍곡 코사인 법칙의 증명 [ 편집 ]
쌍곡 사인 법칙에 나오는 비율의 구체적인 값은 다음과 같다.
sin A sinh a = sin B sinh b = sin C sinh c = 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c sinh a sinh b sinh c {\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}={\frac {\sqrt {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh a\sinh b\sinh c}}}
이에 따라 각 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 의 사인 값은 다음과 같다.
sin A = 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c sinh b sinh c {\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh b\sinh c}}} sin B = 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c sinh a sinh c {\displaystyle \sin B={\frac {\sqrt {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh a\sinh c}}} sin C = 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c sinh a sinh b {\displaystyle \sin C={\frac {\sqrt {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh a\sinh b}}}
또한, 제1 쌍곡 코사인 법칙에 따라 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 의 코사인 값은 다음과 같다.
cos A = cosh b cosh c − cosh a sinh b sinh c {\displaystyle \cos A={\frac {\cosh b\cosh c-\cosh a}{\sinh b\sinh c}}} cos B = cosh a cosh c − cosh b sinh a sinh c {\displaystyle \cos B={\frac {\cosh a\cosh c-\cosh b}{\sinh a\sinh c}}} cos C = cosh a cosh b − cosh c sinh a sinh b {\displaystyle \cos C={\frac {\cosh a\cosh b-\cosh c}{\sinh a\sinh b}}}
따라서, 다음이 성립한다.
cos A cos B + cos C sin A sin B = ( cosh b − cosh c − cosh a ) ( cosh a cosh c − cosh b ) + sinh 2 c ( cosh a cosh b − cosh c ) 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c = cosh a cosh b cosh 2 c − cosh 2 a cosh c − cosh 2 b cosh c + cosh a cosh b + cosh a cosh b sinh 2 c − cosh c sinh 2 c 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c = cosh c {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B}}&={\frac {(\cosh b-\cosh c-\cosh a)(\cosh a\cosh c-\cosh b)+\sinh ^{2}c(\cosh a\cosh b-\cosh c)}{1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}\\&={\frac {\cosh a\cosh b\cosh ^{2}c-\cosh ^{2}a\cosh c-\cosh ^{2}b\cosh c+\cosh a\cosh b+\cosh a\cosh b\sinh ^{2}c-\cosh c\sinh ^{2}c}{1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}\\&=\cosh c\end{aligned}}}
마지막 등호에는 항등식 cosh 2 c − sinh 2 c = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}c-\sinh ^{2}c=1} 이 사용되었다. 이로써 제2 쌍곡 코사인 법칙이 증명된다.[6]
평면 코사인 법칙과의 관계 [ 편집 ]
평면 코사인 법칙은 제1 구면 및 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 예를 들어, 평면 코사인 법칙이 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한임을 다음과 같이 보일 수 있다. 푸앵카레 원판의 반지름이 r {\displaystyle r} 일 경우, 제1 쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같이 된다.
cosh c r r = cosh a r r cosh b r r − sinh a r r sinh b r r cos C r {\displaystyle \cosh {\frac {c_{r}}{r}}=\cosh {\frac {a_{r}}{r}}\cosh {\frac {b_{r}}{r}}-\sinh {\frac {a_{r}}{r}}\sinh {\frac {b_{r}}{r}}\cos C_{r}}
이 경우, r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } 일 때 쌍곡 거리 a r , b r , c r {\displaystyle a_{r},b_{r},c_{r}} 는 유클리드 거리의 2배 2 a ∞ , 2 b ∞ , 2 c ∞ {\displaystyle 2a_{\infty },2b_{\infty },2c_{\infty }} 로 수렴하며, 쌍곡각 A r , B r , C r {\displaystyle A_{r},B_{r},C_{r}} 은 유클리드 각 A ∞ , B ∞ , C ∞ {\displaystyle A_{\infty },B_{\infty },C_{\infty }} 로 수렴한다. 테일러 정리에 따라 다음이 성립한다.
cosh a r r = 1 + 1 2 ( a r r ) 2 + o ( 1 r 2 ) ( r → ∞ ) {\displaystyle \cosh {\frac {a_{r}}{r}}=1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {a_{r}}{r}}\right)^{2}+o\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\qquad (r\to \infty )} cosh b r r = 1 + 1 2 ( b r r ) 2 + o ( 1 r 2 ) ( r → ∞ ) {\displaystyle \cosh {\frac {b_{r}}{r}}=1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b_{r}}{r}}\right)^{2}+o\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\qquad (r\to \infty )} cosh c r r = 1 + 1 2 ( c r r ) 2 + o ( 1 r 2 ) ( r → ∞ ) {\displaystyle \cosh {\frac {c_{r}}{r}}=1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{r}}{r}}\right)^{2}+o\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\qquad (r\to \infty )}
이를 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.
c r 2 r 2 = a r 2 r 2 + b r 2 r 2 − 2 sinh a r r sinh b r r cos C r + o ( 1 r 2 ) ( r → ∞ ) {\displaystyle {\frac {c_{r}^{2}}{r^{2}}}={\frac {a_{r}^{2}}{r^{2}}}+{\frac {b_{r}^{2}}{r^{2}}}-2\sinh {\frac {a_{r}}{r}}\sinh {\frac {b_{r}}{r}}\cos C_{r}+o\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\qquad (r\to \infty )}
다음에 주의하여, 양변에 r 2 {\displaystyle r^{2}} 을 곱한 뒤 극한 r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } 을 취하고 다시 양변에 4를 나누자.
lim r → ∞ r sinh a r r = 2 a ∞ {\displaystyle \lim _{r\to \infty }r\sinh {\frac {a_{r}}{r}}=2a_{\infty }} lim r → ∞ r sinh b r r = 2 b ∞ {\displaystyle \lim _{r\to \infty }r\sinh {\frac {b_{r}}{r}}=2b_{\infty }} lim r → ∞ r sinh b r r = 2 c ∞ {\displaystyle \lim _{r\to \infty }r\sinh {\frac {b_{r}}{r}}=2c_{\infty }}
그러면 평면 코사인 법칙을 얻는다.[6]
c ∞ 2 = a ∞ 2 + b ∞ 2 − 2 a ∞ b ∞ cos C ∞ {\displaystyle c_{\infty }^{2}=a_{\infty }^{2}+b_{\infty }^{2}-2a_{\infty }b_{\infty }\cos C_{\infty }}
제2 쌍곡 코사인 법칙
cos C r = − cos A r cos B r + sin A r sin B r cosh c r r {\displaystyle \cos C_{r}=-\cos A_{r}\cos B_{r}+\sin A_{r}\sin B_{r}\cosh {\frac {c_{r}}{r}}}
에 극한 r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } 을 취하면 다음과 같은 자명한 항등식이 된다.
cos C ∞ = − cos A ∞ cos B ∞ + sin A ∞ sin B ∞ {\displaystyle \cos C_{\infty }=-\cos A_{\infty }\cos B_{\infty }+\sin A_{\infty }\sin B_{\infty }}
이는 A ∞ + B ∞ + C ∞ = π {\displaystyle A_{\infty }+B_{\infty }+C_{\infty }=\pi } 이므로 자명하다. 따라서 유클리드 기하학에는 제2 코사인 법칙이 존재하지 않는다.[6]
같이 보기 [ 편집 ]
각주 [ 편집 ]
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사인 함수와 코사인 함수
수학에서 삼각함수(三角函數, 영어: trigonometric functions, angle functions, circular functions 또는 goniometric functions)는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.
삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인(영어: sine, 문화어: 시누스, 기호 sin {\displaystyle \sin } ) · 코사인(영어: cosine, 문화어: 코시누스, 기호 cos {\displaystyle \cos } ) · 탄젠트(영어: tangent, 문화어: 탕겐스, 기호 tan {\displaystyle \tan } )라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(영어: cosecant, 기호 csc {\displaystyle \csc } ) · 시컨트(영어: secant, 기호 sec {\displaystyle \sec } ) · 코탄젠트(영어: cotangent, 기호 cot {\displaystyle \cot } )라고 한다.
정의 [ 편집 ]
직각 삼각형을 통한 정의 [ 편집 ]
직각 삼각형
C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 a , b , h {\displaystyle a,b,h} 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.
사인: sin A = a h {\displaystyle \sin A={\frac {a}{h}}} 코사인: cos A = b h {\displaystyle \cos A={\frac {b}{h}}} 탄젠트: tan A = a b {\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}}
또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.
코시컨트: csc A = h a = 1 sin A {\displaystyle \csc A={\frac {h}{a}}={\frac {1}{\sin A}}} 시컨트: sec A = h b = 1 cos A {\displaystyle \sec A={\frac {h}{b}}={\frac {1}{\cos A}}} 코탄젠트: cot A = b a = 1 tan A {\displaystyle \cot A={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan A}}}
단위원을 통한 정의 [ 편집 ]
삼각 함수
좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 에 대해, x {\displaystyle x} 축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 θ {\displaystyle \theta } 라고 하면, 다음과 같이 정의한다
sin θ = y r {\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}} cos θ = x r {\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}} tan θ = sin θ cos θ = y x {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {y}{x}}} sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}} csc θ = 1 sin θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}} cot θ = 1 tan θ = cos θ sin θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}
복소 삼각함수 [ 편집 ]
오일러의 공식 e i x = cos x + i sin x {\displaystyle \,e^{ix}=\cos x+i\sin x} 에 x = b i {\displaystyle \,x=bi} 를 대입하면,
e − b = cos b i + i sin b i {\displaystyle \,e^{-b}=\cos bi+i\sin bi}
x = − b i {\displaystyle \,x=-bi} 를 대입하면,
e b = cos ( − b i ) + i sin ( − b i ) = cos b i − i sin b i {\displaystyle \,e^{b}=\cos(-bi)+i\sin(-bi)=\cos bi-i\sin bi}
연립하여 풀면, 쌍곡선함수,
cos b i = e b + e − b 2 = cosh b {\displaystyle \cos bi={\frac {e^{b}+e^{-b}}{2}}=\cosh b} i sin b i = − e b + e − b 2 , {\displaystyle i\sin bi={{-e^{b}+e^{-b}} \over 2}\;,} − i sin b i = e b − e − b 2 = sinh b {\displaystyle -i\sin bi={{e^{b}-e^{-b}} \over 2}=\sinh b}
성질 [ 편집 ]
주기성과 특이점 [ 편집 ]
사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 2 π {\displaystyle 2\pi } 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 에 대하여,
sin z = sin ( z + 2 π ) {\displaystyle \sin z=\sin(z+2\pi )} cos z = cos ( z + 2 π ) {\displaystyle \cos z=\cos(z+2\pi )} csc z = csc ( z + 2 π ) {\displaystyle \csc z=\csc(z+2\pi )} sec z = sec ( z + 2 π ) {\displaystyle \sec z=\sec(z+2\pi )}
탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 π {\displaystyle \pi } 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 에 대하여,
tan z = tan ( z + π ) {\displaystyle \tan z=\tan(z+\pi )} cot z = cot ( z + π ) {\displaystyle \cot z=\cot(z+\pi )}
사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\hat {\infty }}} 에서 본질적 특이점을 갖는다.[1][2]
탄젠트는 실수선의 π / 2 + n π {\displaystyle \pi /2+n\pi } ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } )에서 정의되지 않는다.
사인과 코사인의 그래프
탄젠트 그래프
코시컨트 그래프
특별한 값 [ 편집 ]
단위원 위의 각 점의 좌표
특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.
180 ∘ = π r a d {\displaystyle {180^{\circ }}={\pi }\;\mathrm {rad} } 라디안)
특수각 sin cos tan 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} π / 6 {\displaystyle \pi /6} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} 1 / 3 {\displaystyle 1/{\sqrt {3}}} π / 4 {\displaystyle \pi /4} 2 / 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}/2} 2 / 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}/2} 1 {\displaystyle 1} π / 3 {\displaystyle \pi /3} 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} π / 2 {\displaystyle \pi /2} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 정의되지 않음
0º , 90º sin, cos, tan
부호 [ 편집 ]
각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.
사분면 sin과 csc cos과 sec tan와 cot I + + + II + − − III − − + IV − + −
항등식 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 삼각함수 항등식 입니다.
삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 r {\displaystyle r} 인 빗변이고 밑변이 b , {\displaystyle b,} 각 x {\displaystyle x} 의 대변인 높이 a {\displaystyle a} 에 대하여 a 2 + b 2 r 2 = r 2 r 2 = 1 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}={\frac {r^{2}}{r^{2}}}=1} 를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.
sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \,\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
이것은 다음과 같다.
sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} ( a r ) 2 + ( b r ) 2 = 1 {\displaystyle \left({a \over r}\right)^{2}+\left({b \over r}\right)^{2}=1} ( a 2 r 2 ) + ( b 2 r 2 ) = 1 {\displaystyle \left({a^{2} \over r^{2}}\right)+\left({b^{2} \over r^{2}}\right)=1} a 2 + b 2 r 2 = r 2 r 2 = 1 {\displaystyle {a^{2}+b^{2} \over r^{2}}={r^{2} \over r^{2}}=1} a 2 + b 2 = r 2 = 1 ∵ r = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=r^{2}=1\;\because \;r=1}
따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다.
( 3 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 = 1 {\displaystyle \left({{\sqrt {3}} \over 2}\right)^{2}+\left({1 \over 2}\right)^{2}=1}
삼각함수의 덧셈정리 [ 편집 ]
서로 다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.
sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y , {\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,} cos ( x ± y ) = cos x cos y ∓ sin x sin y {\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}
두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.
모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
sin cos tan cot sec csc sin sin x {\displaystyle \sin x} 1 − cos 2 x {\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} ( tan x ) / 1 + tan 2 x {\displaystyle (\tan x)/{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}} 1 / cot 2 x + 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} sec 2 ( x ) − 1 / ( sec x ) {\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}/(\sec x)} 1 / ( csc x ) {\displaystyle 1/(\csc x)} cos 1 − sin 2 x {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} cos x {\displaystyle \cos x} 1 / 1 + tan 2 ( x ) {\displaystyle 1/{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}} ( cot x ) / cot 2 x + 1 {\displaystyle (\cot x)/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} 1 / ( sec x ) {\displaystyle 1/(\sec x)} csc 2 x − 1 / ( csc x ) {\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}/(\csc x)} tan ( sin x ) / 1 − sin 2 x {\displaystyle (\sin x)/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} 1 − cos 2 x / ( cos x ) {\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}/(\cos x)} tan x {\displaystyle \tan x} 1 / ( cot x ) {\displaystyle 1/(\cot x)} sec 2 x − 1 {\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} 1 / csc 2 x − 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {\csc ^{2}x-1}}} cot 1 − sin 2 x / ( sin x ) {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}/(\sin x)} ( cos x ) / 1 − cos 2 x {\displaystyle (\cos x)/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} 1 / ( tan x ) {\displaystyle 1/(\tan x)} cot ( x ) {\displaystyle \cot(x)} 1 / sec 2 x − 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} csc 2 x − 1 {\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}} sec 1 / 1 − sin 2 x {\displaystyle 1/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} 1 / ( cos x ) {\displaystyle 1/(\cos x)} 1 + tan 2 x {\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}} cot 2 x + 1 / ( cot x ) {\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}/(\cot x)} sec x {\displaystyle \sec x} ( csc x ) / csc 2 ( x ) − 1 {\displaystyle (\csc x)/{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}} csc 1 / ( sin x ) {\displaystyle 1/(\sin x)} 1 / 1 − cos 2 x {\displaystyle 1/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} 1 + tan 2 x / ( tan x ) {\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}/(\tan x)} cot 2 x + 1 {\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} ( sec x ) / sec 2 x − 1 {\displaystyle (\sec x)/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} csc x {\displaystyle \csc x}
미분과 적분 [ 편집 ]
다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.
함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 도함수 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 부정적분 ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int f(x)\,dx} sin x {\displaystyle \sin x} cos x {\displaystyle \cos x} − cos x + C {\displaystyle -\cos x+C} cos x {\displaystyle \cos x} − sin x {\displaystyle -\sin x} sin x + C {\displaystyle \sin x+C} tan x {\displaystyle \tan x} sec 2 x {\displaystyle \sec ^{2}x} − ln | cos x | + C {\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C} cot x {\displaystyle \cot x} − csc 2 x {\displaystyle -\csc ^{2}x} ln | sin x | + C {\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C} sec x {\displaystyle \sec x} sec x tan x {\displaystyle \sec {x}\tan {x}} ln | sec x + tan x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C} csc x {\displaystyle \csc x} − csc x cot x {\displaystyle -\csc {x}\cot {x}} ln | csc x − cot x | + C {\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C}
응용 [ 편집 ]
사인 법칙 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 사인 법칙 입니다.
사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}
마찬가지로,
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}
도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.
코사인 법칙 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 코사인 법칙 입니다.
코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.
코사인 제 1 법칙에 따르면,
c = b cos A + a cos B {\displaystyle c=b\cos A+a\cos B}
양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.
코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}
가 성립하고, 위의 식을 변형하면
cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
와 같이 나타낼 수 있다.
코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.
탄젠트 법칙 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 탄젠트 법칙 입니다.
탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.
a + b a − b = tan 1 2 ( A + B ) tan 1 2 ( A − B ) {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(A+B)}}{\tan {{1 \over 2}(A-B)}}}}
역사 [ 편집 ]
기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다.
현재 쓰는 것과 같은 삼각함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.[3]
삼각함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.
어원 [ 편집 ]
영어 ‘사인(sine)’은 라틴어 sinus에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 جَيْب(jayb)를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 ज्या(jyā, 베다 jiyā́)를 음차한 것이다.
‘탄젠트(tangent)’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 tangens에서 왔고, ‘시컨트(secant)’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 secans에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.
코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 에드먼드 건터(영어판)의 Canon triangulorum(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(sinus complementi)을 ‘코사인(cosinus)’으로 줄여 부른 것이다.
한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 요한 슈렉(영어판)이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 정현(正弦)·여현(餘弦)·정절(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 여절(餘切)·정할(正割)·여할(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.
같이 보기 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]
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