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혼돈 이론(混沌理論) 또는 카오스 이론(영어: chaos theory)은 동역학계 이론에서 특정 동역학계의 시간 변화가 초기 조건에 지수적으로 민감하며, 시간 변화에 따른 궤도가 매우 복잡한 형태를 보이는 현상이다.

세상에서 가장 복잡한 이론은 무엇인가? [안될과학 랩미팅 – 카오스 이론 1부]

혼돈 이론 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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정의[편집]

성질[편집]

예[편집]

응용[편집]

역사[편집]

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]

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혼돈이론 – 과학의 지평

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한경닷컴 사전

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혼돈 이론(混沌理論) 또는 카오스 이론(영어: chaos theory)은 동역학계 이론에서 특정 동역학계의 시간 변화가 초기 조건에 지수적으로 민감하며, 시간 변화에 따른 궤도가 매우 복잡한 형태를 보이는 현상이다. 혼돈 이론(混沌理論, 영어: chaos theory 케이오스 시어리[*] ) 또는 카오스 이론은 무질서하게 보이는 혼돈 상태에도 논리적 법칙이 존재한다는 이론으로, 혼돈계를 연구하는 수학 분야이다.

비선형 동역학계는 다음과 같은 다양한 현상을 보일 수 있다.

영구히 정지

영구히 팽창(비속박계에 한해서)

주기 운동

준주기 운동

혼돈 운동

나타나는 행태의 종류는 계의 초기조건과 존재하는 매개변수의 값에 따라서 결정된다. 혼돈계의 경우 (준)주기 궤도 · 팽창 따위의 현상을 보이지 않으며 매우 복잡한 궤도를 보인다.

정의 [ 편집 ]
혼돈계(영어: chaotic dynamical system)는 다음 세 성질들을 만족시키는 동역학계이다.

초기 조건에 민감해야 한다.(즉, 초기 조건에서의 작은 변화가 결과에 큰 차이를 가져 오는) [1] [2]
위상 혼합성을 보인다.

조밀한 주기적 궤도들을 가진다.

각 조건은 구체적으로 다음과 같다.

초기 조건에 민감(영어: sensitivity to initial conditions)하다는 것은 랴푸노프 지수가 양수라는 것이다. 랴푸노프 지수가 양수이므로, 계의 시간 변화는 초기 조건에 지수적으로 의존한다. 흔히 이는 나비 효과로 불리며 혼돈계의 주요 성질로 일컬어지지만, 초기 조건에 대한 민감성은 혼돈계를 정의하는 세 조건 가운데 하나일 뿐이다. (예를 들어, x ↦ 2 x {\displaystyle x\mapsto 2x} 는 초기 조건에 민감하지만, 혼돈적이지 않다.)

위상 혼합성(영어: topological mixing)이란 다음과 같다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 자기 연속 함수 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} 로 주어지는 이산 시간 동역학계

x n + 1 = f ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}

에서, 임의의 열린집합 U , V ⊆ X {\displaystyle U,V\subseteq X} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 N U , V ∈ N {\displaystyle N_{U,V}\in \mathbb {N} } 가 존재한다면, 이 이산 시간 동역학계가 위상 혼합성을 보인다고 한다.

∀ n ≥ N U , V : f n ( U ) ∩ V ≠ ∅ {\displaystyle \forall n\geq N_{U,V}\colon f^{n}(U)\cap V

eq \varnothing }

즉, N U , V {\displaystyle N_{U,V}} 이상의 시간이 지나면, U {\displaystyle U} 의 시간 변화는 V {\displaystyle V} 와 서로 혼합되게 된다. 마찬가지로, 연속 시간 동역학계

x ↦ ϕ t ( x ) ( t ∈ R ≥ 0 ) {\displaystyle x\mapsto \phi _{t}(x)\qquad (t\in \mathbb {R} _{\geq 0})}

의 경우,

∀ t ≥ T U , V : ϕ t ( U ) ∩ V ≠ ∅ {\displaystyle \forall t\geq T_{U,V}\colon \phi _{t}(U)\cap V

eq \varnothing }

가 되는 시간 T U , V ∈ R ≥ 0 {\displaystyle T_{U,V}\in \mathbb {R} _{\geq 0}} 이 존재하여야 한다.

동역학계의 궤도(영어: orbit)는 주어진 초기 조건의 시간 변화들로 구성된 부분 집합이다. 주기적 궤도(영어: periodic orbit)는 궤도 가운데, 일정한 시간이 지나면 원점으로 돌아오는 것이다. 조밀한 주기적 궤도들(영어: dense periodic orbits)을 갖는다는 것은 모든 주기적 궤도들의 합집합이 조밀 집합을 이룬다는 것이다. 즉, 모든 초기 조건에 대하여, 이에 대하여 임의적으로 가까운 주기적 궤도가 존재한다.

성질 [ 편집 ]
차원 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 푸앵카레-벤딕손 정리 입니다.

연속 시간 동역학계의 경우, 푸앵카레-벤딕손 정리에 따라서 2차원 이하의 계는 혼돈을 보일 수 없다. 즉, 혼돈계는 3차원 이상이어야 한다.

이산 시간 동역학계의 경우 이러한 제약이 없다. 예를 들어, 적절한 매개 변수에서의 로지스틱 사상은 1차원 이산 시간 혼돈계이다.

샤르코우스키 정리와 리-요크 정리 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 샤르코우스키 정리 입니다.

리-요크 정리([李]-Yorke定理, 영어: Li–Yorke theorem)[3]에 따르면, 주기 3의 궤도를 갖는 1차원 이산 시간 동역학계

f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }

는 리-요크 혼돈(영어: Li–Yorke chaos)이라는 현상을 보인다. 이는 위에서 정의한 일반적인 혼돈의 정의보다 더 약한 성질이다.

이와 관련된 정리로 샤르코우스키 정리(Шарковский定理, 영어: Sharkovskii’s theorem)가 있다. 이는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키(우크라이나어: Олекса́ндр Миколайович Шарко́вський, 러시아어: Алекса́ндр Никола́евич Шарко́вский 알렉산드르 니콜라예비치 샤르콥스키[*] )가 1964년에 증명하였다.[4]
끌개 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 끌개 입니다.

혼돈 운동 또는 어떤 형태의 운동이라도 시각적으로 표시하는 방법 중 한가지는 운동의 위상도를 그리는 것이다. 이러한 그림에서 시간은 내재되어 있으며 각 축은 상태의 한 차원을 나타낸다. 예를 들어 이런 위상도에서 정지해 있는 계는 점으로 그려질 것이며 주기 운동을 하는 계는 단일 폐곡선으로 그려질 것이다.

한 계의 위상도는 계의 초기조건에 (그리고 매개변수의 값에) 따라 바뀌지만 대개는 일정한 운동궤적 주위의 초기조건에 대해서는 마치 그 운동궤적에 이끌리듯이 같은 궤적에 도달하는 경우가 많다. 이렇게 이끄는 운동은 적절하게도 그 계의 “끌개”라고 하며 강제된 흩어지기계(forced dissipative system)에서는 아주 흔하게 발견된다.

위에서 언급된 운동 형태 중 대부분은 점(고정점)이나 원형 곡선(극한 주기 궤도)등의 아주 단순한 형태의 끌개를 보이지만 혼돈 운동은 “야릇한 끌개”로 알려진 매우 세밀하면서도 복잡한 형태의 끌개를 보인다. 예를 들어 에드워드 노턴 로렌즈의 기상계를 본뜬 단순한 3차원 본뜨기는 유명한 로렌즈 끌개를 보인다. 로렌즈 끌개는 아마도 가장 잘 알려진 혼돈계의 그림일 텐데 이는 이것이 최초의 끌개 그림 중 하나라는 것보다는 가장 복잡한 끌개 그림 중 하나이며 또한 나비의 날개 같은 매우 흥미로운 형태를 보이기 때문일 것이다. 또 다른 끌개로 로지스틱 본뜨기처럼 주기배증의 혼돈경로를 따르는 뢰슬러 본뜨기가 있다.

야릇한 끌개는 프랙털 구조를 가지고 있다.

예 [ 편집 ]
혼돈계의 대표적인 예는 다음이 있다.

이산 시간 혼돈계

연속 시간 혼돈계

혼돈계가 아닌 계 [ 편집 ]
실수 지수 함수

ϕ t ( x ) = x exp ⁡ ( t ) {\displaystyle \phi _{t}(x)=x\exp(t)}

는 양의 랴푸노프 지수 1을 갖지만, 위상 혼합성이나 조밀한 주기적 궤도를 갖지 않으므로 혼돈계가 아니다.

응용 [ 편집 ]
혼돈 현상은 나비 효과로 잘 알려져 있으며, 혼돈 이론은 지구의 대기, 판 구조론, 경제/인구 현상, 다중성계의 궤도 변화 등에 응용된다. 이런 민감성의 한 예가 소위 “나비 효과”로 나비의 날갯짓에 의한 대기의 미소한 변화가 시간이 흐름에 따라 증폭되어 토네이도같이 극적인 상태를 야기할 수 있음을 의미한다. 나비의 날갯짓이 나타내는 계의 초기조건에 대한 “작은” 차이가 일련의 사건을 거쳐 토네이도와 같은 거시적인 현상을 일으킨다는 것이다. 만약 나비가 날갯짓을 하지 않았다면 계의 위상 공간 위의 궤적은 전혀 달랐을 것이다.

또 다른 혼돈 운동의 잘 알려진 예로 염료 색의 섞임 현상과 공기의 난류(亂流) 현상 등이 있다.

역사 [ 편집 ]
19세기 [ 편집 ]
혼돈 이론의 시작은 19세기까지 거슬러 올라간다. 앙리 푸앵카레는 1880년대에 삼체 문제를 연구하는 과정에서, 비주기성이면서도 영원히 증가하지도, 또한 고정점에 도달하지도 않는 궤도가 있을 수 있다는 것을 발견하였다. 또한, 푸앵카레는 2차원에서는 혼돈이 일어날 수 없다는 푸앵카레-벤딕손 정리를 1892년에 발표하였으나, 이에 대한 엄밀한 증명을 제시하지 않았다.[5] 자크 아다마르는 1898년에 종수 2의 리만 곡면 위의 측지선을 연구하면서, 이 동역학계가 (현대적인 용어로) 양의 랴푸노프 지수를 갖는다는 것을 발견하였다. 이후 이바르 오토 벤딕손이 1901년에 푸앵카레-벤딕손 정리를 엄밀하게 증명하였다.[6]
20세기 초 [ 편집 ]
20세기 초에 비선형 동역학계의 연구가 발달하기 시작하였다. 이들은 초창기에는 대개 물리학 · 공학에서 등장하는 비선형 미분 방정식들을 다루었지만, 이들이 공통적으로 보이는 성질들이 점차 부각되기 시작하였다.

조지 데이비드 버코프는 혼돈과 밀접하게 연관된 에르고딕성을 연구하였고, 버코프 에르고딕 정리를 증명하였다. 안드레이 콜모고로프는 1941년에 유체 역학의 난류를 연구하였고,[7] 또 1954년에 미세한 비선형성에 대한 콜모고로프-아르놀트-모저 정리를 도입하였다.[8] 메리 카트라이트와 존 이든저 리틀우드는 1945년에 무선 공학에서 자연스럽게 등장하는 판데르폴 진동자를 연구하였다.[9] 스티븐 스메일은 1960년에 비선형 동역학계를 모스 이론을 사용하여 분석하였다.[10]
20세기 후반 [ 편집 ]
에드워드 노턴 로렌즈는 1961년에 기상학 컴퓨터 시뮬레이션을 연구하던 도중 로렌즈 방정식의 야릇한 끌개를 발견하였다.[11] 1963년에 브누아 망델브로는 프랙털 기하학을 도입하였으며,[12] 이는 야릇한 끌개의 프랙털 성질을 규명하는 이론적 기반을 제공하였다. 1975년에 리톈옌( 중국어: 李天岩, 병음: Lǐ Tiānyán, 한자음: 이천암, 영어: Tien-Yien Li)과 제임스 요크(영어: James A. Yorke)는 “혼돈”(영어: chaos 케이오스[*] )이라는 용어를 전문 용어로 최초로 사용하였다.[3] 이는 고대 그리스어: χάος 카오스[*] 에서 유래하며, 원래 그리스 신화에서 우주 태초의 상태 (또는 그 의인화)를 뜻한다. 1976년에 오토 에버하르트 뢰슬러(독일어: Otto Eberhard Rössler)는 연속 시간 혼돈계인 뢰슬러 끌개를 발표하였다.[13] 1978년에 미첼 파이겐바움은 파이겐바움 상수를 발견하였다.

1987년에 제임스 글리크(영어: James Gleick, IPA: [dʒeɪmz ɡliːk])는 대중 교양 서적 《카오스: 새로운 과학의 출현》(영어: Chaos: Making a New Science)을 출판하여, 혼돈 이론을 대중화하였다.[14][15]
참고 문헌 [ 편집 ]
같이 보기 [ 편집 ]

[과학의 달 특별 칼럼] 복잡계와 혼돈이론

“브라질에서 한 나비의 날개 짓이 다음 달 텍사스에서 토네이도를 발생시킬 수도 있다.” 이른바 ‘나비효과’라 불리는 이 가상의 현상은 기상학자 로렌츠(Edwards Lorentz)가 공기의 대류현상과 기후변화에서 기존의 물리학이 설명할 수 없는 ‘초기조건에의 민감한 의존성’, 즉 작은 변화가 엄청난 변화를 초래할 수 있음을 단적으로 표현하고자 농담 삼아 즐겨 사용하던 말이다. 흔히 무질서한 현상의 대명사로 알려져 있는 유체의 운동(예를 들어 대기의 흐름, 수도꼭지에서 쏟아져 나오는 물의 운동, 뿜어진 담배연기의 퍼짐 등등)이라든가 군집 생태학에서 다루는 특정지역에 대한 생물체의 분포와 변화 등에서는 우리의 경험으로도 쉽게 느낄 수 있듯이 입력의 미세한 차이가 출력에서 엄청난 큰 차이로 나타난다. 이들은 결정론적인 고전과학의 관점에서 보면 예측 불가능한 무질서와 혼돈으로서 실제 자연계에 엄연히 존재한다. 그렇다면 자연계의 질서와 조화를 일차적으로 다루어 온 기존의 물리학은 더 이상 자연현상을 완벽하게 설명할 수 없는 것일까? 자연은 더 이상 규칙성과 예측가능성보다는 불규칙성과 무질서가 지배하는 것일까?

뉴턴역학에서 아인슈타인의 상대성이론, 양자이론, 소립자 물리학, 그리고 우주론으로 발전되어온 물리학은 변화무쌍한 자연세계를 수학적으로 모델화하려는 인간의 노력의 하나이다. 매우 복잡한 양상을 띠고 있는 현상계를 몇 개의 자연법칙이 지배하는 부분들의 집합체로 단순화하고, 부분들에 대한 분석을 통해 전 체계에 대한 정보를 얻어내려는 것이다. 뉴턴역학에 기반 하여 유체역학도 유체의 흐름을 지배하는 자연법칙을 수학적으로 모델화한 수학방정식을 만들어 내었다. 그러나 이러한 무질서한 유체운동을 실제로 설명함에 있어서는 무력하였는데, 그것은 물리학이 몇 가지 방법론적 가정에 기초하고 있기 때문이다.

첫째는 뉴턴적인 결정론에 대한 믿음이다. 즉 어떤 계의 초기조건과 그것을 지배하는 자연법칙(흔히 미분방정식으로 표현되는 운동방정식)을 정확히 알면, 그 계의 과거 및 현재, 미래의 상태를 모두 다 ‘거의 정확하게’ 예측할 수 있다는 것이다. 이는 자연계가 거대한 기계처럼 어떤 결정론적인 질서 하에서 움직이고 있음을 뜻한다.

둘째는 수렴과 근사에 대한 믿음이다. 즉 나뭇잎 하나의 떨어짐이 지구와 태양간의 만유인력에 어떠한 영향을 끼치지 않듯이 극히 미세한 영향은 무시될 수 있으며, 또한 사물의 행동양식은 일정한 틀에로 수렴하려는 경향이 존재한다는 믿음이다. 즉 자연계를 질서정연한 부분들로 구성된 매우 안정된 집합체로 본다. 따라서 흔히 경험하는 불규칙한 요동이나 소음과 같은 교란들은 로렌츠의 주장과는 달리 그 효과가 매우 미약한 것으로 쉽게 간과된다.

셋째는 선형성(linearity)의 사상이다. 실제로 자연계를 모델화한 수학방정식들은 대부분 비선형성을 띠고 있음에도 불구하고 많은 사람들은 이를 풀기가 난해하다는 이유로 근사적으로 선형적인 형태로 변형하여 풀거나, 아니면 일차적으로 비선형적인 항들(가령 실제세계에서 피할 수 없는 마찰이나 소음과 같은 영향들)을 제거하고 푼 다음 비선형 항들을 선형적인 결과에 요동 혹은 섭동의 형태로 포함시키는 방식으로 근사적으로 푼다. 그 결과 초기조건이 약간 달라지면 그 결과도 약간 달라지는 입력과 출력간의 비례관계가 형성된다.

넷째는 전체에 대한 정보는 그것을 구성하는 부분들에 대한 정보로부터 획득될 수 있으며 그래서 전체는 그것을 구성하는 부분들의 산술적인 총합과 동일하다는 믿음이다. 한마디로 전체를 이해하는데 그것을 구성하는 부분에 대한 정보로 충분하다는 것이다. 가령 어떤 고체의 성질은 그것을 구성하는 원자들의 성질과 원자들 간의 결합구조로 충분히 이해된다. 이는 바로 환원론이라 부르는 과학의 전형적인 방법론이다.

결국 현대물리학의 전 분야에서도 흔히 사용되고 있는 고전과학의 이와 같은 방법론적 가정 하에서는 유체현상의 복잡성이 제대로 반영되지 못할 뿐 아니라 로렌츠가 주장한 ‘나비효과’도 근본적으로 존재할 수가 없게 된다. 또한 H2O라는 분자 차원에서는 나타나지 않다가 물 전체를 보면 나타나는 액체 현상도 설명할 수 없게 된다. 물리학이 아닌 영역에서는 아주 흔한, 부분에서는 결코 나타나지 않던 성질들이 이들을 결합한 전체 차원에서는 나타나는 소위 창발적인 현상들(가령 뇌에서의 의식 현상)에 대해 전반적으로 설명이 어렵게 된다.

혼돈이론은 바로 나비효과와 같은 현상이 발생할 수도 있는 유체현상을 설명하기 위해, 로렌츠를 필두로 기존 물리학의 이러한 방법론적 가정들에 대한 회의에서 출발하였다. 더욱이 60년대와 70년대 스메일(Stephen Smale), 요크(James Yorke), 메이(Robert May), 만델브로트(Benoit Mandelbrot) 등으로 이어지는 수학자들의 모델화 작업과 컴퓨터의 발달은 비선형 방정식을 풀 수 있는 가능성을 열어 줌으로써 혼돈이론 연구에 새로운 전기를 마련했으며, 기존의 선형적인 접근방식으로는 도저히 얻을 수 없었던 자연계의 신비한 모습을 드러내 주었다. 다름 아닌 혼돈과 안정이 공존하는 세계, 질서와 혼돈이 함께 생성되는 세계, 즉 부분적으로 예측 불가능하지만 전체적으로 안정적인 세계를 밝혀낸 것이다. 군집생물학에서 특정지역에서 특정 생물체의 전체 개체수의 변화과정을 모델화한 로버트 메이의 유명한 단순모형을 토대로 혼돈이론의 이러한 특성을 자세히 살펴보자.

메이에 따르면 특정지역에서 생물체의 개체수는 적을 때는 빠르게 증가하고 중간 값일 때에는 거의 증가하지 않다가 많을 때에는 그 증가를 억제하는 요소로 인해 감소하는 생태계적 성질을 지닌다. 가령 토끼 수가 적을 때에는 토끼풀이 급속히 성장하고 토끼 수가 적정선에 이르면 토끼풀도 균형을 유지하지만, 토끼 수가 많아지면 토끼풀은 급속하게 줄어든다. 토끼풀이 줄어들면 다시 토끼수도 줄게 되고 토끼풀은 다시 성장하는 식으로 생태계는 순환을 반복한다. 이 생태계의 모형을 단순화하여 수학적으로 표현해 보면, 의 비선형식이 된다. 여기서 r은 매개변수로서 번식률을 나타내며, 은 이전 개체수, 은 이후 개체수를 가리킨다. (원래 이 식은 로지스틱 방정식이라 불리는 미분방정식 으로 19세기에 인구증가 모델로 제시되었는데, 오늘날 군집 생태학에서 개체수 증가 모델로 사용되고 있으며 여기서는 미분 대신 차분 방정식의 형태로 재구성을 하였음.) 이제 r값을 점차 증가시킴에 따라 개체수가 어떻게 증가하는가를 살펴보기 위한 수치실험을 하면, 아래의 [그림 1]과 같은 모양이 나타난다.
[그림 1] r 값의 연속적 변화에 따른 로지스틱 맵의 분기 곡선

정상상태에서 출발한 개체 수는 r값(그림의 가로축)이 증가함에 따라 둘로 쪼개지는 쌍갈래(bifurcation) 과정을 겪는데 이는 이 범위에서 개체 수(그림의 세로축)가 두 값 사이에서 규칙적으로 요동(주기 2의 규칙적 운동)함을 가리킨다. r값이 점점 더 커지면 쌍갈래 과정이 무수히 반복하여 나타나면서 개체수의 변화가 무질서하게 나타나는, 초기조건의 변화에 매우 민감한 혼돈 상태에 도달하게 된다.(그림의 검은 색 영역들) 그러나 놀랍게도 최초의 혼돈 다음(최초의 검은 색 영역 다음의 흰색 영역 – ‘혼돈 중에 나타나는 질서의 창’)에는 다시금 처음의 정상상태 때와 유사한 규칙적인 상태가 반복된다.(아래의 [그림 2] 참조) 그리고 이러한 과정은 r값이 증가함에 따라 혼돈 영역과 질서 영역이 반복적으로 나타나면서 이후로 끊임없이 반복하여 나타난다.
[그림 2] r 값의 특정 영역에서 쌍갈래 과정이 반복되는 모습

바로 고전물리학에서는 상상도 할 수 없었던, 혼돈과 질서가 결정론적 모델로 부터 함께 생성된 것이다. 이 뿐만이 아니다. [그림 2]에서 보았듯이 그 변화의 전체 패턴은 거의 유사한 형태로 부분의 영역에서 반복해서 나타나는 자체유사성이 존재하고 있다. 즉 영역을 아무리 작게 잡거나 크게 확대하더라도 복잡성의 정도가 일정한 쌍갈래 과정의 전체 패턴이 유사하게 반복해서 나타난다. (경제학에서의 예를 들면 하루 동안 주가변동 패턴은 한 달간의 그것과 일 년 동안의 그것과 매우 유사한데, 이는 전체의 패턴이 부분 속에서 반복적으로 나타남을 의미한다.) 이렇게 동일한 패턴이 전체와 부분 속에서 반복되는 구조를 프랙탈 구조라 부른다. 또한 개체 수의 변화를 r, X의 공간이 아닌 위상공간상에서 나타내면 그 궤도가 끊임없이 수렴해 가는 ‘이상한 끌개’(strange attractor)가 나타나는데, 이는 개체수의 변화가 무질서해 보이면서도 상당히 안정된 구조를 지니고 있음을 의미한다.

결국 혼돈 이론에서 비선형성은 불규칙성이 끊임없이 규칙적으로 반복되는, 전체적으로는 안정된 구조를 가진다. 그런 의미에서 불규칙성은 완전한 무질서가 아니라 불규칙한 패턴이 일정하게 규칙적으로 반복하여 나타난다는 의미의 질서를 내포하고 있다고 말할 수 있다. 그렇다면 혼돈은 불안정성과 전혀 같은 의미가 아니다. 오히려 안정된 혼돈, 규칙적인 불규칙성이 중요하다.

현재 혼돈 이론은 여전히 수학적인 모델 탐구에 제한되어 있으며, 실제세계에서는 기후변화나 유체의 흐름과 같은 현상에 주로 적용되고 있다. 아직까지는 기대하는 만큼 많은 영역에 실제로 적용되고 있지 못하다. 하지만 외부로부터 끊임없이 에너지가 유입되어 불안정적이며 예측 불가능한 것으로 보이는 열린 계들(가령 비평형 상태의 화학적 반응계, 비가역적인 생명계 등)이나 환원적인 분석 방법이 더 이상 적용되기 어려운 창발 현상을 일으키는 계(가령 뇌 등)에 대해 혼돈 이론의 적용은 매우 유용해 보인다. 한마디로 복잡계 현상들에 대해 혼돈 이론은 좋은 설명을 제공해 줄 것으로 기대해 볼 수 있다. 한편 혼돈 이론은 기존물리학의 방법론에 대한 도전 때문에 때때로 물리학의 새로운 패러다임인 양 불려 지기도 하지만, 현대물리학의 방법론이 여전히 현실세계의 많은 분야 가령 우주론, 소립자 물리학, 핵물리학, 고체물리학, 광학, 그리고 공학 등에서 지배적 위치를 점하고 있음을 간과해서는 안 된다. 이렇게 볼 때 혼돈 이론은 물리학 전반에 대한 새로운 지표설정이라기 보다는 물리학의 한계극복이라는 보완적 의미가 아직은 강함을 강조하지 않을 수 없다.

그럼에도 불구하고 혼돈 이론은 다음과 같은 새로운 철학적 의미를 함축하고 있다. 이제는 복잡계를 단순한 계들의 집합으로 인식하지 않고 복잡계 그 자체에 있는 그대로 접근하려 한다는 점이다. 달리 말해 오늘날 주류의 과학 방법론으로 정착된 환원론적 분석 방법 대신 비환원론적 접근 방법을 택하고 있다. 그리고 특정한 시각에서의 정태적인 상태보다는 계의 동적인 변화 과정을 중시한다. 다시 말해 ‘무엇임’이라는 고정된 존재성 보다는 ‘무엇으로 됨’이라는 끊임없이 변화하는 과정을 강조한다. 또한 뉴턴 물리학의 결정론적 예측 가능성이나 이후 양자이론에서 언급된 확률적 예측 가능성 모두를 부정적으로 바라본다. 예측 가능성을 정립하는 것이 과학의 핵심적인 문제가 더 이상 아니라는 것이다. 마지막으로 선형적인 사고 대신 비선형적 사고를 강조한다. 특히 이는 오늘날과 같이 모든 것들이 다자간 상호 네트워크 구조로 얽혀 있는 경우 매우 유용하다. 뇌의 구조 뿐 아니라 사회적인 관계를 설명할 때 매우 유용하기 때문이다. 혼돈 이론이 이러한 철학적 의미를 잘 살려 보다 잘 확립된 과학방법론으로 구체화, 정식화되길 기대해 본다.

혼돈 이론

수학 분야

값 r = 28 , σ = 10 , b = 8/3 에 대한 로렌츠 끌림의 그림

혼란스러운 행동을 보여주는 중간 에너지에서의 이중 로드 진자의 애니메이션. 약간 다른 초기 조건에서 진자를 시작하면 궤적이 크게 달라질 것이다. 이중 로드 진자는 혼란스러운 해결책을 가진 가장 간단한 동적 시스템 중 하나이다.

혼돈 이론은 완전히 무작위적인 무질서와 부조리의 상태를 가지고 있다고 생각되었던 역동적인 시스템에서 초기 조건에 매우 민감한 기초적인 패턴과 결정론적 법칙에 초점을 맞춘 수학의 학제간 과학 이론이자 분야다.[1] 혼돈 이론은 혼란스러운 복잡한 시스템의 겉보기 무작위성 안에는 근본적인 패턴, 상호연결성, 지속적인 피드백 루프, 반복성, 자기 유사성, 프랙탈, 자기 조직화가 있다고 말한다.[2] 혼돈의 근본원리인 나비효과는 결정론적 비선형 시스템의 한 상태에 작은 변화가 후기 상태(초기 조건에 민감한 의존성이 있다는 의미)에서 큰 차이를 가져올 수 있는 방법을 설명한다.[3] 이런 행동에 대한 비유는 브라질에서 날개를 퍼덕이는 나비가 텍사스에서 토네이도를 일으킬 수 있다는 것이다.[4]
측정 오류 또는 숫자 계산의 반올림 오류로 인한 것과 같은 초기 조건에서의 작은 차이는 그러한 동적 시스템에 대해 광범위하게 다른 결과를 산출할 수 있으며, 일반적으로 그들의 행동에 대한 장기 예측을 불가능하게 한다.[5] 이러한 시스템들이 결정론적이어도 일어날 수 있는데, 이는 그들의 미래 행동이 고유한 진화를[6] 따르고 무작위적인 요소 없이 초기 조건에 의해 완전히 결정된다는 것을 의미한다.[7] 즉, 이러한 시스템의 결정론적 특성은 예측 가능하게 하지 않는다.[8][9] 이 행동은 결정론적 혼란, 즉 단순히 혼란이라고 알려져 있다. 그 이론은 에드워드 로렌츠에 의해 다음과 같이 요약되었다.[10]
혼돈: 현재가 미래를 결정하지만, 근사적인 현재가 대략 미래를 결정하지는 않을 때.

혼란스러운 행동은 유동, 심장 박동 불규칙, 날씨, 기후를 포함한 많은 자연계에 존재한다.[11][12][6] 그것은 또한 주식시장과 도로교통과 같은 인위적인 구성요소가 있는 일부 시스템에서도 자연발생적으로 발생한다.[2] 이러한 행동은 혼란스러운 수학적 모델의 분석이나 재발도, 푸앵카레 지도 등의 분석 기법을 통해 연구할 수 있다. 혼돈 이론은 기상학,[6] 인류학,[13] 사회학, 환경과학, 컴퓨터 공학, 공학, 경제, 생태학, 유행병 위기 관리 등 다양한 분야에 응용이 있다.[14][15] 그 이론은 복잡한 동적 시스템, 혼돈 이론의 가장자리, 그리고 자기 조립 과정과 같은 연구 분야의 기초를 형성했다.

소개

혼돈 이론은 원칙적으로 행동을 예측할 수 있는 결정론적 시스템과 관련이 있다. 혼란스러운 시스템은 한동안 예측이 가능하다가 무작위로 되기 위해 ‘보여진다’는 것이다. 무질서한 시스템의 행동을 효과적으로 예측할 수 있는 시간은 예측에서 얼마나 많은 불확실성을 용인할 수 있는지, 그 현재 상태를 얼마나 정확하게 측정할 수 있는지, 랴푸노프 시간이라고 하는 시스템의 역학관계에 따라 시간 척도가 달라진다. 랴푸노프 시대의 몇 가지 예는 혼란스러운 전기 회로, 약 1밀리초, 기상 시스템, 며칠(검증되지 않음), 내부 태양계, 400만년에서 500만년이다.[16] 혼란스러운 시스템에서는 예측의 불확실성이 경과에 따라 기하급수적으로 증가한다. 따라서 수학적으로 예측 시간의 두 배가 예측의 비례적 불확실성을 제곱하는 것보다 더 많다. 이는 실제로 랴푸노프 시간의 두세 배 이상의 간격을 두고 의미 있는 예측을 할 수 없다는 것을 의미한다. 의미 있는 예측을 할 수 없을 때, 시스템은 무작위로 나타난다.[17]
혼돈 이론은 단일 데이터 관계에 의해 설명되고 예측될 수 없지만 전체적이고 지속적인 데이터 관계에 의해 설명되고 예측되어야 하는 동적 시스템의 동작을 조사하기 위한 정성적, 정량적 분석의 방법이다.

무질서 역학

x → 4 x (1 – x) 및 y → ( x + y) mod 1 로 정의된 지도는 초기 x 위치에 대한 민감도를 나타낸다. 여기서 x와 y 값의 두 시리즈는 시간이 지남에 따라 작은 초기 차이에서 현저하게 갈라진다.

일반적으로 “차”는 “장애 상태”[18][19]를 의미한다. 그러나 혼돈 이론에서 이 용어는 더 정확하게 정의된다. 일반적으로 받아들여지는 혼돈의 수학적 정의는 존재하지 않지만, 일반적으로 사용되는 정의는 원래 로버트 L에 의해 공식화되었다. 데바니는 역동적인 시스템을 혼란스러운 것으로 분류하기 위해서는 다음과 같은 특성이 있어야 한다고 말한다.[20]
어떤 경우에는 위의 마지막 두 특성이 실제로 초기 조건에 대한 민감도를 암시하는 것으로 나타났다.[21][22] 이산 시간의 경우, 이것은 미터법 공간에 대한 모든 연속 지도에 적용된다.[23] 이러한 경우 가장 실질적으로 중요한 속성인 경우가 많지만, “초기 조건에 대한 민감성”은 정의에 명시할 필요가 없다.

만약 주의가 간격에 제한된다면, 두 번째 속성은 나머지 두 가지를 의미한다.[24] 대안과 일반적으로 더 약한 혼돈의 정의는 위 목록의 처음 두 속성만 사용한다.[25]
초기 조건에 대한 민감도

주요 기사: 나비효과

Y 변수에 대한 그림을 생성하는 데 사용되는 로렌츠 방정식. x와 z의 초기 조건은 그대로 유지되었으나 y의 조건은 1.001, 1.0001과 1.00001 사이에서 변경되었다. ρ {\displaystyle \rho}, {\displaystyle \sigma }, β {\displaystyle \beta } 의 값은 45.92, 16, 4이었다. 그래프에서 알 수 있듯이, 초기값의 사소한 차이에도 세 가지 경우에서 약 12초간의 진화 후에 유의미한 변화를 일으킨다. 이것은 초기 조건에 대한 민감한 의존을 보여주는 예다.

초기 조건에 대한 민감성은 혼란스러운 시스템의 각 지점이 미래 경로나 궤적이 현저하게 다른 다른 지점들에 의해 임의로 가깝게 근사하게 추정된다는 것을 의미한다. 따라서 현재 궤도의 임의적인 작은 변화나 동요는 미래 행동을 상당히 다르게 할 수 있다.[2]
초기 조건에 대한 민감성은 흔히 “버터플라이 효과”로 알려져 있는데, 1972년 에드워드 로렌츠가 워싱턴 D.C.의 미국 과학진흥협회에 제출한 논문 제목 때문에 다음과 같은 제목이 붙었기 때문이다. 브라질의 나비 날개 플랩이 텍사스에서 토네이도를 일으키는가?[26] 펄럭이는 날개는 시스템의 초기 상태의 작은 변화를 나타내며, 이는 대규모 현상의 예측 가능성을 방해하는 일련의 사건을 일으킨다. 나비가 날개를 퍼덕거리지 않았다면 전체 시스템의 궤적은 크게 달라질 수 있었을 것이다.

초기 조건에 대한 민감도의 결과로서 시스템에 대한 제한된 양의 정보(실무에서 흔히 그렇듯이)로 시작하면 특정 시간 이후로는 시스템이 더 이상 예측 불가능하게 된다. 이것은 일반적으로 약 일주일 전에 예측 가능한 날씨에서 가장 보편적이다.[27] 이것은 미래의 사건에 대해 어떤 것도 주장할 수 없다는 것을 의미하지는 않는다. 다만 시스템에 대한 일부 제한이 있을 뿐이다. 예를 들어 지구 표면의 온도가 자연적으로 100 °C(212 °F)에 이르거나 지구상에서 -130 °C(-202 °F) 이하로 떨어지지는 않을 것으로 알고 있지만, 어느 날이 1년 중 가장 더운 날씨를 보일지는 정확히 예측할 수 없다.

보다 수학적 용어로, 랴푸노프 지수는 초기 조건에 대한 민감도를, 동요된 초기 조건으로부터의 지수적 차이율의 형태로 측정한다.[28] 구체적으로는 초기 분리 Δ Z 0 {\ displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}} 과(와) 같이 무한히 가까운 위상공간에서 두 개의 출발 궤적을 고려할 때, 두 궤적은 결국 다음과 같은 비율로 갈라지게 된다 .

δ Z ( t ) ≈ e λ t δ Z 0 , {\displaystyle \delta \delta \mathbf {Z} (t) \delta \mathbf {Z} _{0},}

여기서 t {\displaystyle t} 은 (는) 시간이고 λ {\displaystyle \lambda } 은(는) Lyapunov 지수(으)이다 . 이격률은 초기 분리 벡터의 방향에 따라 달라지기 때문에 전체 스펙트럼의 랴푸노프 지수가 존재할 수 있다. 랴푸노프 지수 수는 위상 공간의 치수 수와 동일하지만, 가장 큰 지수만 언급하는 것이 일반적이다. 예를 들어, 시스템의 전반적인 예측 가능성을 결정하기 때문에 최대 랴푸노프 지수(MLE)가 가장 많이 사용된다. 양성 MLE는 보통 시스템이 혼란스럽다는 표시로 간주된다.[6]
위의 속성 외에 초기 조건의 민감도와 관련된 다른 속성도 존재한다. 예를 들어 측정-이론적 혼합(ergodic 이론에서 논의된 바와 같이)과 K-system의 특성을 포함한다.[9]
비주기성

무질서한 시스템은 진화하는 변수에 대한 값의 순서를 가질 수 있으며, 그 순서의 어느 지점에서부터 시작되는 주기적인 동작을 제공한다. 그러나 그러한 주기적인 시퀀스는 끌어들이기보다는 밀어내고 있는데, 진화하는 변수가 시퀀스 바깥에 있다면, 아무리 가까이 있어도 시퀀스에 들어가지 않고 사실 그것으로부터 이탈한다는 것을 의미한다. 따라서 거의 모든 초기 조건에서 변수는 비주기적 동작과 함께 차오틱하게 진화한다.

위상혼합

로지스틱 지도를 통해 상태 집합 [ x , y ] {\displaystyle [x,y]} 의 6번 반복이 통과했다 첫 번째 반복(파란색)은 기본적으로 원을 형성하는 초기 조건이다. 애니메이션은 원형 초기 조건의 첫 번째에서 여섯 번째 반복을 보여준다. 우리가 반복적으로 진행함에 따라 혼합이 일어나는 것을 알 수 있다. 여섯 번째 반복을 보면 위상 공간에 점들이 거의 완전히 흩어져 있다는 것을 알 수 있다. 만약 우리가 반복해서 더 발전했다면, 혼합은 균질하고 되돌릴 수 없는 것이었을 것이다. The logistic map has equation x k + 1 = 4 x k ( 1 − x k ) {\displaystyle x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})} y {\displaystyle y} y k + 1 = x k + y k {\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}} x k + y k < 1 [\displaystyle x_{k}+y_{k}<1 } 및 y + 1 = x k + y k - 1 {\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1} 다른 x → 4 x (1 – x) 및 y → ( x + y) mod 1 로 정의된 지도에도 위상학적 혼합이 표시된다. 여기서 파란 부분은 역학에 의해 먼저 보라색 지역으로, 그 다음에는 분홍색과 붉은색으로, 그리고 결국 공간 전체에 흩어져 있는 수직선의 구름으로 변형된다. 위상학적 혼합(또는 위상적 전이성의 약한 조건)은 시스템이 시간이 지남에 따라 진화하여 주어진 영역이나 위상 공간의 열린 집합이 결국 다른 영역과 겹치게 된다는 것을 의미한다. 이 수학적 개념인 "믹싱"은 표준 직관에 해당하며, 색염료나 액체의 혼합은 혼돈된 체계의 한 예다. 위상학적 혼합은 흔히 혼돈에 대한 일반적인 설명에서 생략되는데, 혼돈을 초기 조건에 대한 민감성만으로 동일시한다. 그러나 초기의 조건에 대한 민감한 의존만으로는 혼란을 주지 않는다. 예를 들어, 초기 값을 반복적으로 두 배로 증가시킴으로써 생성된 단순한 동적 시스템을 고려해 보십시오. 이 시스템은 모든 곳의 초기 조건에 민감한 의존성을 가지고 있는데, 그 이유는 어떤 한 쌍의 근처 지점도 결국 널리 분리되기 때문이다. 그러나 이 예는 위상학적 혼합이 없으므로 혼돈도 없다. 실제로 0을 제외한 모든 점들은 양이나 음의 무한대에 치우치는 경향이 있다. 위상적 전이성 지도 f:X→ X{\displaystyle f:X\to X}접속 형태적으로 전이서라면 사각형 오픈 세트의 어떤 쌍을 위해 U, V⊂ X{\displaystyle U,V\subset X}, k를 존재하는;0{\displaystyle k>0}가 fkm그리고 4.9초 만(U)∩ V≠ ∅{\displaystyle f^{k}(U)\cap V

eq \emptyset}. 위상 천이 공식은 weake다고 한다.rvers 위상학적 혼합의 이온 직관적으로, 만약 지도가 위상적으로 전이된 다음 지점 x와 지역 V가 주어진다면, 궤도가 V를 통과하는 지점 y가 x 근처에 존재한다. 이것은 시스템을 두 개의 개방형 세트로 분해하는 것이 불가능하다는 것을 암시한다.[29]
중요한 관련 정리는 비르코프 트랜스티비티 정리(Transitivity Organism이다. 밀도가 높은 궤도의 존재가 위상학적 전이성을 내포하고 있음을 쉽게 알 수 있다. 버크호프 전이성 정리는 X가 두 번째로 셀 수 있고 완전한 미터 공간이라면 위상적 전이성은 X에 조밀한 궤도를 가진 점 집합의 존재를 내포하고 있다고 명시하고 있다.[30]
주기적 궤도의 밀도

무질서한 시스템이 밀집한 주기적 궤도를 갖는다는 것은 공간의 모든 지점이 주기적 궤도에 의해 임의로 근접해 접근한다는 것을 의미한다.[29] x → 4 x (1 – x)로 정의된 1차원 로지스틱 지도는 주기적인 궤도의 밀도를 가진 가장 단순한 시스템 중 하나이다. For example, 5 − 5 8 {\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}} → 5 + 5 8 {\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}} → 5 − 5 8 {\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}} (or approximately 0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915) is an (unstable) orbit of period 2, and similar orbits exist f 또는 기간 4, 8, 16 등(사실, 샤코프스키의 정리에서 지정한 모든 기간 동안).[31]
샤코프스키의 정리는 주기 3의 규칙적인 사이클을 보여주는 어떠한 연속적인 1차원 시스템도 완전히 혼란스러운 궤도는 물론 다른 길이마다의 규칙적인 사이클을 보여줄 것이라는 리와 요르케[32](1975) 증거의 기초다.

이상한 유인원

로렌츠 유인기는 무질서한 행동을 보인다. 이 두 그림은 유인자가 점유한 위상 공간 영역 내의 초기 조건에 대한 민감한 의존성을 나타낸다.

x → 4 x (1 – x)에 의해 정의된 1차원 로지스틱 지도와 같은 일부 역동적인 시스템은 도처에서 혼란스럽지만, 많은 경우에 혼란스러운 행동은 위상 공간의 일부분에서만 발견된다. 대부분의 관심의 사례는 그 혼란스러운 행동이 유인원에서 일어날 때 발생한다. 그 때 큰 초기 조건들이 이 혼란스러운 지역으로 모여드는 궤도로 연결되기 때문이다.[33]
무질서한 끌어당기는 사람을 시각화하는 쉬운 방법은 끌어당기는 사람의 끌어당기는 대지의 한 지점에서 출발하여 그 이후의 궤도를 단순히 계획하는 것이다. 위상적 전이성 조건 때문에 이것은 최종 유인체 전체의 그림을 만들어낼 가능성이 있으며, 실제로 오른쪽 그림에서 보이는 두 궤도 모두 로렌츠 유인기의 일반적인 모양을 그린 그림을 제공한다. 이 유인기는 로렌츠 기상 시스템의 단순한 3차원 모델에서 비롯된다. 로렌츠 유인기는 아마도 가장 잘 알려진 혼돈 시스템 도표 중 하나일 것이다. 아마도 그것이 처음의 하나일 뿐만 아니라 가장 복잡한 하나이기 때문이며, 따라서 아주 흥미로운 패턴이 생기게 되어 작은 상상력으로 나비의 날개처럼 보인다.

고정점 유인기와 한계 사이클과는 달리, 이상한 유인자로 알려진 혼란스러운 시스템에서 발생하는 유인기는 매우 세밀하고 복잡하다. 이상한 유인기는 연속적인 동적 시스템(로렌츠 시스템 등)과 일부 이산 시스템(헤논 지도 등)에서 모두 발생한다. 다른 이산형 동력학 시스템들은 줄리아 집합이라고 불리는 반발 구조를 가지고 있는데, 이것은 고정된 점의 끌어당김의 기저 사이의 경계에서 형성된다. 줄리아 세트를 이상한 리피터로 생각할 수 있다. 이상한 유인원과 줄리아 세트 모두 전형적으로 프랙탈 구조를 가지고 있으며, 프랙탈 치수는 그들을 위해 계산될 수 있다.

혼돈 시스템의 최소 복잡성

로지스틱 맵x → r x (1 – x ) 의 분기 도표. 각 수직 슬라이스는 r의 특정 값에 대한 끌림을 보여준다. 이 도표는 r이 증가함에 따라 주기적인 문제를 표시하여 결국 혼돈을 초래한다. 어두운 점은 더 자주 찾아온다.

물류 지도와 같은 분리된 혼돈 시스템은 그들의 차원성이 무엇이든 이상한 유인원을 보여줄 수 있다. 파라볼릭 맥시마와 페이겐바움 상수 Δ = 4.669201 이 있는 1차원 맵의 보편성 … \displaystyle \cHB =4.669201… } , α = 2.502907… \displaystyle \cHB =2.502907… }}은 ( 는) 이산 레이저 역학을 위한 완구 모델로 제안된 지도에서 잘 볼 수 있다 [34][35] : x → G x ( 1 – t a n h ( x ) {\ displaystyle x 1-\mathrm {tanh} ( x )}, 여기 서 x {\displaysty x} 은 전기장 진폭을 나타내며 , G {\displaystystystystysty g}은 [36] 분리 파라미터로이다. [ 0 , ∞ ){\ displaystyle [0 ,\infit )} 간격 에서 G {\ displaystyle G} 의 점진적인 증가는 로지스틱 지도와 질적으로 동일한 분기 도표를 사용하여 일반 도표에서 혼돈 도표로[37] 역학을 변화시킨다 .

이와는 대조적으로, 연속적인 동적 시스템의 경우, 푸앵카레-벤딕슨 정리는 이상한 유인기가 3차원 이상에서만 발생할 수 있다는 것을 보여준다. 유한 차원 선형 시스템은 결코 혼란스럽지 않다. 역동적인 시스템이 혼란스러운 동작을 나타내려면 비선형 또는 무한 차원이어야 한다.

푸앵카레-벤딕손 정리에는 2차원 미분 방정식은 매우 규칙적인 동작을 가지고 있다고 명시되어 있다. 아래에서 논의되는 로렌츠 끌어당기는 다음과 같은 세 가지 미분 방정식의 시스템에 의해 생성된다.

d x d t = σ y − σ x , d y d t = ρ x − x z − y , d z d t = x y − β z . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z. \end{정렬}}}

여기서 x {\displaystyle x }, y {\displaystyle y} 및 z {\displaystyle z} 이 (가) 시스템 상태를 구성하고 , t {\displaystyle \sigma }, σ {\displaystyle \rho }, β {\ displaystystystystystystyparm }이 ( 가 시스템 매개 변수). 오른쪽의 항 중 5개가 선형인 반면, 2개는 2차, 총 7개 항이다. 또 다른 잘 알려진 혼돈 유인기는 뢰슬러 방정식에 의해 생성되는데, 7개 중 비선형 항이 하나만 있다. Sprott는[38] 단 5개의 항으로 구성된 3차원 시스템을 찾았는데, 단 하나의 비선형 항만 가지고 있어 특정 매개변수 값에 혼돈을 보인다. 장과 하이델은[39][40] 적어도 방산적이고 보수적인 이차적 시스템의 경우 오른쪽 면에 서너 개의 용어만 있는 3차원 이차적 시스템은 혼란스러운 행동을 보일 수 없다는 것을 보여주었다. 그 이유는 간단히 말해서, 그러한 시스템에 대한 해결책은 2차원 표면에는 점증적이지 않기 때문에 해결책이 잘 실행된다는 것이다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 유클리드 평면의 연속적인 역동 시스템이 혼돈스러울 수 없음을 보여주지만, 비유클리드 기하학을 가진 2차원 연속 시스템은 혼돈된 행동을 보일 수 있다.[41][self-published source?] 아마도 놀랍게도, 무한대의 치수라면 선형 시스템에서도 혼돈이 발생할 수 있다.[42] 기능 분석이라고 알려진 수학 분석의 한 분과에서 선형 혼돈의 이론이 개발되고 있다.

무한 치수 지도

결합된 이산 maps[43]의 대한 솔직한 일반화 꼬임은 공간적으로 분산 지도 간의 상호 작용:ψ n+1(r→ t))∫ K(r→ − r→, t)f[ψ n(r→,는 과목은)]dr→,{\displaystyle \psi_{n+1}({\vec{r}},t)=\int K({\vec를 조정한다 통합에 기반한다. {r}} -{\vec {{r}^{,}f[,}t]_{n}({\vec{r}^{},t)]d{\vec{r }^{,}},},

어디 커널 K(r→ − r→, t){K({\vec{r}}-{\vec{r}}^{,},t)\displaystyle}번식 상자 관련된 물리적 system,[44]f[ψ n(r→,는 과목은)]{\displaystyle f[\psi_{n}({\vec{r}},t)]}의 그린 함수로 Gψ[1− tanh ⁡(ψ)]{\displaystyle \psi \ri →이 될 수 있습니다. 군수 지도 똑같이 ψ 도출한다.ghta rrow G\psi [1-\tanh(\psi )] 또는 복잡한 지도. 복잡한 지도 예제의 경우, 줄리아 집합 f [ ] = 2 2 {\ displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}: 또는 이케다 지도 edan + 1 = A + B ψn e i ( en 2 + C ){\ displaysty \psi _{n+1 }= A+ A+A + B\psi _{n}e^{i(\psi _{n} ^{2}+C)}}}}}} 이(가) 제공될 수 있다 . 거리 L = c t {\displaystyle L=ct} 의 파장 전파 문제가 2 π / k {\displaystyle \lambda = 2\ pi /k} 커널 K {\ displaysty K} 에 대해 다음과 같은 녹색 함수의 형식이 있을 수 있다.[45][46]
K ( r → − r → , , L ) = i k exp ⁡ [ i k L ] 2 π L exp ⁡ [ i k r → − r → , 2 2 L ] {\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik {\vec {r}}-{\vec {r}}^{,} ^{2}}{2 L}}]} .

저크 시스템

물리학에서 저크는 시간에 관한 세 번째 위치의 파생물이다. 이와 같이, 형식의 미분방정식

J ( x . . . , x ¨ , x ˙ , x ) = 0 {\displaystyle J\left({\overset {…) }{x},{\ddot{x},{\dot{x},x\right)=0}

때때로 얼크 방정식이라고 불린다. 보통, 비선형 미분방정식이라는 세 가지 제1차 순서의 시스템에 해당하는 저크 방정식은 어떤 의미에서 혼돈된 행동을 보이는 해법에 대한 최소한의 설정인 것으로 나타났다. 이것은 바보 시스템에 대한 수학적인 흥미를 유발한다. 4차 이상의 파생상품을 포함하는 시스템을 그에 따라 하이퍼제크 시스템이라고 부른다.[47]
저크 시스템의 동작은 저크 방정식으로 설명되며, 특정 저크 방정식의 경우 간단한 전자 회로가 솔루션을 모델링할 수 있다. 이러한 회로를 저크 회로라고 한다.

저크 회로의 가장 흥미로운 특성 중 하나는 무질서한 행동의 가능성이다. 사실 로렌츠 끌러나 뢰슬러 지도와 같이 잘 알려진 어떤 혼돈 시스템은 하나의 (좀 복잡하긴 하지만) 얼크 방정식으로 결합할 수 있는 세 개의 1차 미분 방정식의 체계로 통설적으로 설명된다. x {\displaystyle x} 의 크기에서 비선형성을 갖는 저크 방정식의 또 다른 예는 다음과 같다.

d 3 x d t 3 + A d 2 x d t 2 + d x d t − x + 1 = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}^{3}{3}}+A{\frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}}{{2}}+{\frac {d}{d}}{d}}}\mathrmatrm {-x1=0} }

여기서 A는 조절 가능한 매개변수다. 이 방정식은 A=3/5에 대한 혼돈 솔루션을 가지고 있으며 다음과 같은 저크 회로로 구현될 수 있다. 필요한 비선형성은 두 다이오드에 의해 발생한다.

위의 회로 에서는 R A = R / A = 5 R / 3 {\ displaystyle R_{A}=R/A=5R/3 } 을 제외한 모든 저항기의 값이 동일하며, 모든 콘덴서의 크기는 동일하다. 우성 주파수는 1 / 2 π R C {\displaystyle 1/2\pi RC} 이다 . op amp 0의 출력은 x 변수에 해당하고, 1의 출력은 x의 첫 번째 파생상품에 해당하며, 2의 출력은 두 번째 파생상품에 해당한다.

유사한 회로는 다이오드가[48] 하나만 필요하거나 다이오드가 전혀 필요하지 않다.[49]
무질서한 참 난수생성기의 한 가지 근거인 잘 알려진 추아의 회로도 참조한다.[50] 서킷의 건설이 용이하여 어디에서나 볼 수 있는 혼돈 시스템의 실제 사례로 자리 잡았다.

자연순서

적절한 조건 하에서 혼돈은 자연적으로 록스텝 패턴으로 진화한다. 쿠라모토 모델에서는 혼란스러운 시스템 속에서 동기화를 연출하기에 네 가지 조건이 충분하다. 예로는 크리스티아누 호이겐스의 진자, 반딧불이, 뉴런, 런던 밀레니엄 브릿지 공명, 조셉슨 교전지의 대형 배열의 결합진동을 들 수 있다.[51]
역사

혼돈 이론의 초기 지지자는 앙리 푸앵카레였다. 1880년대에 3체 문제를 연구하던 중, 그는 비주기적인 궤도가 있을 수 있다는 것을 발견했고, 그럼에도 영원히 증가하거나 고정점에 접근하지는 않았다.[52][53][54] 1898년, 자크 하다마드는 “하다마드의 당구”라고 불리는 일정한 음의 곡률의 표면에서 무마찰로 자유입자 활공하는 무질서한 운동에 관한 영향력 있는 연구를 발표하였다.[55] Hadamard는 모든 입자 궤도가 서로 기하급수적으로 갈라지고, 긍정적인 Lyapunov 지수를 가진다는 점에서 모든 궤도가 불안정하다는 것을 보여줄 수 있었다.

혼돈 이론은 에고다이즘의 분야에서 시작되었다. 비선형 미분방정식에 대한 주제인 후기 연구도 조지 데이비드 비르코프,[56] 안드레이 니콜라예비치 콜모고로프,[57][58][59] 메리 루시 카트라이트, 존 에덴소 리틀우드,[60] 그리고 스티븐 스마일이 수행했다.[61] 스메일을 제외한 이들 연구는 모두 물리학에서 직접 영감을 얻은 것으로, 비르코프의 경우 3체질 문제, 콜모고로프의 경우 난기류와 천문학적 문제, 카트라이트나 리틀우드의 경우 전파공학 문제 등이다.[citation needed] 비록 무질서한 행성 운동은 관찰되지 않았지만, 실험자들은 그들이 보고 있는 것을 설명하기 위한 이론의 이점이 없이 유체 운동과 무선 회로의 비주기적 진동에서 난기류를 만났다.

20세기 전반의 초기 통찰에도 불구하고 혼돈 이론은 일부 과학자들에게 그 당시의 지배적인 시스템 이론인 선형 이론이 단순히 로지스틱 지도와 같은 특정 실험의 관찰된 행동을 설명할 수 없다는 것이 처음으로 명백해진 세기 중반 이후에야 그렇게 공식화되었다. 혼돈 이론가들은 부정확하고 단순한 “소음”을 측정하는데 기인했던 것을 연구된 시스템의 전체 구성요소로 고려했다.

혼돈 이론의 발전의 주된 촉매제는 전자 컴퓨터였다. 혼돈 이론의 많은 수학은 단순한 수학 공식의 반복을 포함하는데, 이것은 손으로 하기에는 비실용적일 것이다. 전자 컴퓨터는 이러한 반복적인 계산을 실용적으로 만들었고, 수치와 이미지는 이러한 시스템을 시각화하는 것을 가능하게 했다. 교토대 하야시 치히로 연구실의 대학원생으로서 우에다 요시스케는 아날로그 컴퓨터로 실험을 하고 있었고, 1961년 11월 27일, 이른바 ‘무질서한 과도기 현상’을 알아차렸다. 하지만 그의 조언자는 그 당시 그의 결론에 동의하지 않았고 1970년까지 그의 연구 결과를 보고하는 것을 허락하지 않았다.[62][63]
에드워드 로렌츠는 그 이론의 초기 개척자였다. 혼란에 대한 그의 관심은 1961년 일기예보에 대한 그의 작업을 통해 우연히 생겨났다.[11] 로렌츠는 날씨 시뮬레이션을 실행하기 위해 간단한 디지털 컴퓨터인 로열 맥비 LGP-30을 사용하고 있었다. 그는 데이터 시퀀스를 다시 보고 싶었고, 시간을 절약하기 위해 그 과정 중간에 시뮬레이션을 시작했다. 그는 원래 시뮬레이션 중간에 조건에 해당하는 데이터의 인쇄물을 입력하여 이렇게 했다. 놀랍게도 기계가 예측하기 시작한 날씨는 이전의 계산과는 전혀 달랐다. 로렌츠는 이것을 컴퓨터 출력물까지 추적했다. 컴퓨터는 6자리 정밀도로 작동했지만 인쇄물은 변수를 3자리 숫자로 반올림하여 0.506127과 같은 값이 0.506으로 인쇄되었다. 이 차이는 미미하며, 당시 공감대는 실질적인 효과가 없어야 한다는 것이었을 것이다. 그러나 로렌츠는 초기 조건의 작은 변화가 장기적 결과에 큰 변화를 가져온다는 것을 발견했다.[64] 로렌츠 끌어당기는 사람들에게 그 이름을 붙인 로렌츠의 발견은 상세한 대기 모델링조차 일반적으로 정확한 장기 기상 예보를 할 수 없다는 것을 보여주었다.

1963년, Benoit Mandelbrot는 면화 가격에 관한 데이터에서 모든 규모에서 반복적인 패턴을 발견했다.[65] 사전에 그는 정보이론을 연구했고 잡음이 칸토어 세트처럼 패턴화되었다는 결론을 내렸다: 어떤 규모에서든 오류 없는 기간에 대한 소음 포함 기간의 비율은 일정했기 때문에 오류는 불가피했고 중복성을 통합하여 계획되어야 한다.[66] 만델브로트는 ‘노아 효과'(급격한 불연속 변화가 일어날 수 있는 경우)와 ‘조셉 효과'(한 가치의 지속성이 잠시 일어날 수 있지만 그 후에 갑자기 변할 수 있는 경우)를 모두 설명했다.[67][68] 이는 가격 변동이 정상적으로 배분된다는 생각에 도전했다. 1967년에 그는 “영국 해안은 얼마나 길까? “통계적 자기 유사성 및 분수 치수”는 해안선의 길이가 측정기의 크기에 따라 달라지며, 모든 척도에서 자신과 유사하며, 무한히 작은 측정 장치의 경우 길이가 무한하다는 것을 보여준다.[69] 그는 트윈 볼이 먼 곳에서 볼 때(0차원), 상당히 가까운 곳에서 볼 때 볼(3차원) 또는 곡선의 가닥(1차원)으로 나타날 때 점으로 나타난다고 주장하면서 물체의 치수는 관찰자에 상대적이며 분수령일 수 있다고 주장했다. 불규칙성이 다른 척도(“자기 유사성”)에 걸쳐 일정하게 존재하는 물체는 프랙탈(예: 멘거 스펀지, 시에르피에스키 개스킷, 코흐 커브 또는 눈송이)이며 무한히 길지만 유한한 공간을 감싸고 프랙탈 치수가 1.2619 정도 된다. 1982년 만델브로트는 <자연 프랙탈 기하학>을 발표하여 혼돈 이론의 고전이 되었다.[70]
1977년 12월, 뉴욕 과학 아카데미는 데이비드 루엘, 로버트 메이, 제임스 A가 참석한 가운데 혼돈에 관한 제1차 심포지엄을 조직하였다. 요크(수학에서 사용되는 ‘차오스(chaos)’라는 용어의 코이너), 로버트 쇼(Robert Shaw), 기상학자 에드워드 로렌츠(Edward Lorenz) 등이 있다. 이듬해 피에르 콜렛과 찰스 트레서는 “Itéations d’endomorphismes et gruffe et reonormalization”을 발표했고, 미첼 파이겐바움(Mitchell Feigenbaum)의 “비선형 변형을 위한 양적 보편성” 기사는 심판 3년 만에 마침내 저널에 실렸다.[35][71] 이리하여 페이겐바움(1975)과 쿨렛&트레서(1978)는 혼돈 속에서 보편성을 발견하여 혼돈 이론을 여러 가지 다른 현상에 적용할 수 있게 했다.

1979년 피에르 호헨버그가 아스펜에서 주최한 심포지엄에서 알버트 J. 리차버는 레일리-베나드 대류계에 혼란과 난기류를 초래하는 분기 폭포에 대한 그의 실험적인 관찰 결과를 발표했다. 그는 1986년 미첼 J와 함께 Wolf Prize of Physics 상을 받았다. 그들의 고무적인 업적에 대한 파이겐바움.[72]
1986년 뉴욕 과학 아카데미는 국립 정신 건강 연구소와 해군 연구소와 공동으로 생물학 및 의학의 혼란에 관한 첫 번째 중요한 회의를 조직하였다. 그곳에서 베르나르도 휴버먼은 정신분열증 환자들 사이의 눈 추적 기능 장애에 대한 수학적인 모델을 제시했다.[73] 이것은 예를 들어 병리학적 심장 주기 연구에 혼돈 이론의 적용을 통해 1980년대에 생리학의 갱신을 가져왔다.

1987년 페르박, 차오탕, 커트 비센펠트는 자연에서 복잡성이 발생하는 메커니즘 중 하나로 여겨지는 SOC(자체 조직적 중요성)를 최초로 기술한 논문을 물리 리뷰 레터스에[74] 발표했다.

Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile과 같은 주로 연구소에 기반한 접근법과 더불어, 많은 다른 조사들은 대규모 자연적 또는 사회적 시스템에 초점을 맞추고 있으며, 이는 대규모의 자연적 또는 사회적으로 변별력 있는 행동을 보여주는 것으로 알려져 있다(또는 의심된다). 이러한 접근방식이 (적어도 초기에는) 조사 대상의 전문가들이 항상 환영하는 것은 아니었지만, 그럼에도 불구하고 SOC는 지진(SOC가 발견되기 훨씬 이전부터 구와 같은 스케일 인바리어트 행동의 근원으로 알려져 있던) 등 여러 자연현상을 설명할 수 있는 유력한 후보로서 자리매김하고 있다. Tenberg–Richter 법 지진 크기의 통계적 분포를 설명하고 오모리 law[75]여진의 주파수를 설명하는), 태양 플레어, 금융 시장(SOC에 대한 참조 물리에서 공통적이다), 경치 형성, 산불, 산사태, 전염병, 생물학적 진화( 같은 경제 시스템의 변동wher 예를 들어, E SOC는 Niles Eldredge와 Stephen Jay Gould)에 의해 제시된 “분리된 평형주의” 이론의 뒤에 있는 역동적인 메커니즘으로서 발동되었다. 사건 크기의 무규모 분포의 영향을 고려하여, 일부 연구자들은 SOC의 한 예로 간주되어야 할 또 다른 현상이 전쟁의 발생이라고 제안했다. SOC에 대한 이러한 조사에는 모델링 시도(새로운 모델을 개발하거나 기존 모델을 주어진 자연 시스템의 세부사항에 적응시키는 것)와 자연 스케일링 법률의 존재 및/또는 특성을 결정하기 위한 광범위한 데이터 분석이 모두 포함되었다.

같은 해에 제임스 글리크는 혼돈: 새로운 과학을 출판했는데, 이 책은 베스트셀러가 되었고 혼돈 이론의 일반 원리는 물론 그 역사를 넓은 대중에게 소개했다.[76] 초기에 소수의 고립된 개인의 영역인 혼돈 이론은 주로 비선형 시스템 분석이라는 이름으로 학제적, 제도적 규범으로 점차 등장하였다. 토마스 쿤의 과학혁명의 구조(1962년)에서 드러난 패러다임 변화 개념을 암시하면서, 많은 “차학자”들은 (일부 사람들이 설명했듯이) 이 새로운 이론이 그러한 변화의 한 예라고, 글리크가 지지하는 논문이라고 주장했다.

더 저렴하고 더 강력한 컴퓨터의 가용성은 혼돈 이론의 적용 가능성을 넓힌다. 현재 혼돈 이론은 수학, 위상, 물리학,[78] 사회 시스템,[79] 인구 모델링, 생물학, 기상학, 천체물리학, 정보 이론, 계산 신경과학, 유행병 위기 관리 [14][15]등과 같은 많은 다양한 학문들을 포함하는 연구의 활발한 영역으로 남아 있다.[77]
적용들

비록 혼돈 이론은 날씨 패턴을 관찰하면서 생겨났지만, 그것은 다양한 다른 상황들에 적용될 수 있게 되었다. 오늘날 혼돈 이론의 혜택을 받는 분야로는 지질학, 수학, 생물학, 컴퓨터 공학, 경제학,[81][82][83] 공학,[84][85] 금융,[86][87][88][89][90] 기상학, 철학, 인류학,[13] 물리학,[91][92][93] 정치학,[94][95] 인구 역학,[96] 로봇공학 등이 있다. 아래에 몇 가지 카테고리가 예시와 함께 나열되어 있지만, 새로운 애플리케이션이 등장하고 있어 이것은 결코 포괄적인 목록이 아니다.

암호학

혼돈 이론은 암호학에서 여러 해 동안 사용되어 왔다. 지난 수십 년 동안 수백 개의 암호 원소 설계에 혼돈과 비선형 역학이 사용되어 왔다. 이러한 알고리즘에는 이미지 암호화 알고리즘, 해시함수, 안전한 의사 난수 생성기, 스트림 암호, 워터마크, 스테가노그래피 등이 포함된다.[97] 이들 알고리즘의 대부분은 단일모드 혼돈 맵에 기초하고 있으며, 이들 알고리즘의 상당 부분은 제어 매개변수와 혼돈 맵의 초기 상태를 키로 사용한다.[98] 보다 넓은 관점에서, 일반성의 상실 없이, 혼돈된 지도와 암호 시스템의 유사성이 혼돈에 기반한 암호 알고리즘의 설계에 주된 동기가 된다.[97] 암호화의 한 종류인 비밀키나 대칭키는 확산과 혼란에 의존하는데, 혼돈 이론에 의해 잘 모델링된다.[99] 또 다른 유형의 컴퓨팅인 DNA 컴퓨팅은 혼돈 이론과 결합할 때 이미지 및 기타 정보를 암호화하는 방법을 제공한다.[100] 많은 DNA-Chaos 암호 알고리즘이 안전하지 않은 것으로 입증되거나 적용된 기술이 효율적이지 못한 것으로 제시된다.[101][102][103]
로보틱스

로봇공학은 최근 혼돈 이론의 혜택을 받고 있는 또 다른 분야다. 로봇들이 그들의 환경과 상호작용하기 위해 시행착오적인 형태의 미세화에서 행동하는 대신에, 혼돈 이론은 예측 모델을 구축하는데 이용되어 왔다.[104] 두 발로 걷는 수동적인 로봇에 의해 혼란스러운 역학 관계가 나타났다.[105]
생물학

100년 이상 동안 생물학자들은 개체군 모델을 가진 다른 종의 개체수를 추적해 왔다. 대부분의 모델은 연속적이지만, 최근 과학자들은 특정 집단에 혼란스러운 모델을 구현할 수 있었다.[106] 예를 들어, 캐나다 스라소스의 모델에 대한 연구는 인구 증가에서 혼란스러운 행동들이 있다는 것을 보여주었다.[107] 수문학 같은 생태 시스템에서도 혼돈을 발견할 수 있다. 수문학에 대한 혼란스러운 모델은 단점이 있지만, 혼돈 이론의 렌즈를 통해 자료를 보는 것으로부터 배울 점이 여전히 많다.[108] 또 다른 생물학적 응용은 카디오토그래피에서 발견된다. 태아 감시는 가능한 한 비침습적이면서도 정확한 정보를 얻는 섬세한 균형이다. 태아 저산소증의 경고 신호의 더 나은 모델은 혼란스러운 모델링을 통해 얻을 수 있다.[109]
경제학

혼돈 이론의 적용을 통해 경제 모델도 개선될 수 있지만, 경제 시스템의 건전성과 그것에 가장 큰 영향을 미치는 요소들을 예측하는 것은 극히 복잡한 과제다.[110] 전자는 본질적으로 사람들의 상호작용에 기인하기 때문에, 경제 및 금융 시스템은 본질적으로 확률적이며, 따라서 순수한 결정론적 모델은 데이터의 정확한 표현을 제공할 가능성이 낮기 때문에, 고전적 자연과학의 그것들과 근본적으로 다르다. 경제와 금융의 혼란을 시험하는 경험적 문헌은 부분적으로 혼돈에 대한 구체적인 시험과 비선형 관계에 대한 더 일반적인 시험 사이의 혼란 때문에 매우 혼합된 결과를 나타낸다.[111]
경제학의 혼돈은 반복 계량분석을 통해 발견할 수 있었다. 실제로 올랜도 등은 이른바 재발 계량 상관 지수를 통해 시계열의 숨겨진 변화를 감지할 수 있었다.[112] 그런 다음, 거시경제 변수 간의 차이뿐만 아니라 층류(정규) 단계에서 난류(차오틱) 단계로의 전환을 감지하고 경제 역학의 숨겨진 특징을 강조하기 위해 동일한 기술을 채택하였다.[113] 마지막으로, 혼돈은 COVID-19와 같은 외부 사건으로 인한 충격 임베딩뿐만 아니라 경제 운영 방식을 모델링하는 데 도움이 될 수 있다.[114] 결정론적 혼란 모델(예: Kaldor-Kaleki,[115] Goodwin,[116] Harrod[117])을 경험적으로 교정하고 테스트하여 얻은 도구 및 결과에 대한 업데이트된 설명은 올랜도 외 연구 자료를 참조하십시오.[118]
기타 영역

화학에서는 중합체 제조에 기체 용해도를 예측하는 것이 필수적이지만, 입자 군집 최적화(PSO)를 이용한 모델은 잘못된 지점으로 수렴하는 경향이 있다. PSO의 개선된 버전은 혼돈을 도입하여 만들어졌는데, 이는 시뮬레이션이 고착되는 것을 막아준다.[119] 특히 소행성을 관측할 때 천체역학에서는 혼돈 이론을 적용하면 이 물체들이 언제 지구와 다른 행성에 접근할 것인지에 대한 더 나은 예측으로 이어진다.[120] 명왕성의 다섯 개의 위성 중 네 개가 차오티컬하게 회전한다. 양자물리학과 전기공학에서, 조셉슨 접합부의 대규모 배열 연구는 혼돈 이론으로부터 큰 이익을 얻었다.[121] 집에서 가까운 곳에 있는 탄광은 항상 잦은 천연가스 누출로 많은 사망자가 발생하는 위험한 장소였다. 최근까지 언제 발생할지 믿을 만한 예측 방법이 없었다. 그러나 이러한 가스 누출은 적절히 모델링하면 상당히 정확하게 예측할 수 있는 혼란스러운 경향을 가지고 있다.[122]
혼돈 이론은 자연과학 이외의 분야에서도 적용될 수 있지만 역사적으로 거의 모든 그러한 연구들은 재현성의 결여, 외부 타당성 저조, 그리고/또는 교차 검증에 주의를 기울이지 않아 예측 정확도가 떨어지는 결과를 초래했다(표본 밖의 예측이 시도된 경우). Glass와[123] Mandell과 Selz는[124] 어떤 EEG 연구도 이상한 유인물이나 혼란스러운 행동의 다른 징후를 아직 보여주지 못했다는 것을 발견했다.

연구자들은 계속해서 혼돈 이론을 심리학에 적용해왔다. 예를 들어, 윌프레드 비온 이론에서 무엇이 기본적인 가정인지 마치 이질적인 구성원들이 서로 다른 정도로 공유하는 것처럼 행동할 수 있는 모델링 그룹 행동에서, 연구자들은 그룹 동적(group dynamic)이 구성원의 개별적 역학의 결과라는 것을 알아냈다: 각 개인은 다른 스케일로 그룹 역학을 재현하고, 그리고 그 결과들은 다음과 같다. 집단의 혼란스러운 행동이 각 구성원에게 반영된다.[125]
레딩턴과 리드보드(1992)는 인간의 심장이 혼란스러운 특성을 나타낼 수 있다는 것을 증명하려고 시도했다. 그들은 한 명의 심리치료 환자가 치료 시간 동안 다양한 감정 강도의 기간을 거치면서 심장간 간격의 변화를 관찰했다. 결과는 명백하게 결론에 이르지 못했다. 저자들이 혼란스러운 역학의 증거를 보여주기 위해 만들어낸 다양한 플롯에 모호함이 있을 뿐만 아니라, 혼란스러운 행동에 대한 보다 확실한 확인으로 랴푸노프 지수를 계산하려고 했을 때, 저자들은 신뢰할 수 없다는 것을 발견했다. .[126]
1995년 논문에서 메트칼프와 알렌은[127] 동물의 행동에서 두 배로 늘어난 기간을 발견하여 혼란을 초래했다고 주장했다. 저자들은 일정유발성 다지증이라고 불리는 잘 알려진 반응을 조사했는데, 일정유발성 다지증, 즉 일정기간 동안 식량을 빼앗긴 동물이 마침내 음식이 나왔을 때 특이한 양의 물을 마실 것이다. 여기서 동작하는 제어 매개변수(r)는 피딩 간 간격의 길이였으며, 일단 재개되었다. 저자들은 많은 수의 동물을 실험하고 많은 복제를 포함하기 위해 조심했고, r의 시작 장소마다 다른 반응 패턴의 변화가 일어날 가능성을 배제하기 위해 실험을 설계했다.

시계열도와 첫 번째 지연 플롯은 제기된 주장에 대한 최선의 지원을 제공하며, 공급 시간이 증가함에 따라 주기성에서 비정기로의 상당히 명확한 진보를 보여준다. 반면에 다양한 위상 궤적도와 스펙트럼 분석은 다른 그래프나 전체적인 이론과 충분히 일치하지 않아 무질서한 진단으로 일관할 수 없다. 예를 들어, 위상 궤적은 더 크고 더 큰 복잡성(그리고 주기성으로부터 멀리)으로 가는 확실한 진행을 보여주지 않는다; 그 과정은 상당히 혼란스러워 보인다. 또한, Metcalf와 Allen이 스펙트럼 그림에서 2와 6의 기간을 보았던 곳에서는, 대체 해석의 여지가 있다. 이 모든 모호성들은 결과가 혼란스러운 모델에 적합하다는 것을 보여주기 위해 어떤 뱀같은 사후 설명이 필요하다.

아문슨과 브라이트는 직원과 고용시장의 관계에 대한 혼란스러운 해석을 포함하도록 진로 상담 모델을 적용함으로써, 진로 결정에 어려움을 겪는 사람들에게 더 나은 제안이 이루어질 수 있다는 것을 발견했다.[128] 현대 조직들은 점점 더 근본적인 자연 비선형 구조를 가진 개방적인 복합 적응 시스템으로 인식되고 있으며, 혼란을 야기할 수 있는 내부와 외부의 힘에 노출된다. 예를 들어, 팀 구성과 그룹 개발은 본질적으로 예측할 수 없는 시스템으로 연구되고 있는데, 이는 서로 다른 개인이 처음 만나는 불확실성으로 인해 팀의 궤적을 알 수 없게 만들기 때문이다.[129]
어떤 사람들은 언어 이론에서 사용되는 혼돈 은유가 인간 행동의 수학적 모델과 심리학적 측면에 바탕을 두고 있으며, 은유 그 자체를 뛰어넘는 소규모 작업 그룹의 복잡성을 묘사하는 데 도움이 되는 통찰력을 제공한다고 말한다.[130]
교통량 예측은 혼돈 이론의 적용으로부터 이익을 얻을 수 있다. 언제 트래픽이 발생할 것인지에 대한 더 나은 예측은 트래픽이 발생하기 전에 그것을 분산시키기 위한 조치를 취할 수 있게 할 것이다. 혼돈 이론 원리와 몇 가지 다른 방법을 결합하면 보다 정확한 단기 예측 모델이 도출되었다(오른쪽 BML 트래픽 모델의 플롯 참조).[131]
혼돈 이론은 강우량이나 흐름과 같은 환경적 물 순환 데이터(수문학적 데이터)에 적용되어 왔다.[132] 이러한 연구는 혼돈된 서명을 감지하는 방법이 상대적으로 주관적인 경우가 많기 때문에 논란의 여지가 있는 결과를 낳았다. 초기 연구들은 혼돈을 찾는데 있어서 “진행”하는 경향이 있었던 반면, 후속 연구와 메타 분석은 그러한 연구를 문제 삼았고 왜 이러한 데이터 집합들이 저차원 혼돈의 역학을 가지고 있지 않은지에 대한 설명을 제공했다.[133]
참고 항목

혼돈 시스템의 예

기타 관련 항목

사람

참조

추가 읽기

기사들

교과서

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[과학의 달 특별 칼럼] 복잡계와 혼돈이론 | 과학문화포털 사이언스올

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