Top 33 보간법 The 50 New Answer

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수치해석학의 수학 분야에서 보간법(補間法) 또는 내삽(內揷, interpolation)은 알려진 데이터 지점의 고립점 내에서 새로운 데이터 지점을 구성하는 방식이다.

17장 다항식 보간법 part 1 (보간법 개요 및 뉴튼 Newton 보간다항식): 수치해석

보간법 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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보간법

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선형 보간법과 적용 / Linear Interpolation and Application

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다크 프로그래머 :: 선형 보간법(linear, bilinear, trilinear interpolation)

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보간법

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선형 보간법 (Linear interpolation)

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선형 보간법(線型補間法, linear interpolation)은 끝점의 값이 주어졌을 때 그 사이에 위치한 값을 추정하기 위하여 직선 거리에 따라 선형적으로 계산하는 방법이다.

두 빨간색 점 사이에 있는 파랑색 점의 위치를 추정하기 위하여 선형 보간법을 사용할 수 있다.

예시 [ 편집 ]
예를 들어, 오른쪽 그림과 같이, 두 끝점 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} 와 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} 가 주어져 있을 때, 그 사이에 위치한 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 의 값을 추정하기 위해 두 점 사이에 직선을 긋고 다음과 같은 비례식을 구성할 수 있다.

y − y 0 x − x 0 = y 1 − y 0 x 1 − x 0 {\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}

이 수식을 풀면, 어떤 주어진 값 x {\displaystyle x} 에 대한 y {\displaystyle y} 값을 다음과 같이 구할 수 있다.

y = y 0 + ( y 1 − y 0 ) x − x 0 x 1 − x 0 {\displaystyle y=y_{0}+(y_{1}-y_{0}){\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}

일반화 [ 편집 ]
p1과 p2 사이에 있는 점 p의 값을 추정하기 위해 선형 보간법을 사용할 수 있다.

일반적으로 두 지점 p 1 , p 2 {\displaystyle p_{1},p_{2}} 에서의 데이터 값이 각각 f ( p 1 ) , f ( p 2 ) {\displaystyle f(p_{1}),f(p_{2})} 일 때, p 1 , p 2 {\displaystyle p_{1},p_{2}} 사이의 임의의 지점 p {\displaystyle p} 에서의 데이터 값 f ( p ) {\displaystyle f(p)} 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

f ( p ) = d 2 d 1 + d 2 f ( p 1 ) + d 1 d 1 + d 2 f ( p 2 ) {\displaystyle f(p)={\frac {d_{2}}{d_{1}+d_{2}}}f(p_{1})+{\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}}}f(p_{2})}

단, d 1 {\displaystyle d_{1}} 은 p {\displaystyle p} 에서 p 1 {\displaystyle p_{1}} 까지의 거리, d 2 {\displaystyle d_{2}} 는 p {\displaystyle p} 에서 p 2 {\displaystyle p_{2}} 까지의 거리를 말한다.

만일 거리의 비를 합이 1이 되도록 정규화하면 ( d 1 + d 2 = 1 {\displaystyle d1+d2=1} ) 위 식은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

f ( p ) = d 2 f ( p 1 ) + d 1 f ( p 2 ) {\displaystyle f(p)={d_{2}}f(p_{1})+{d_{1}}f(p_{2})}

확장 [ 편집 ]
선형 보간법은 1차원 직선상에서 이루어지는 보간법이다. 이를 2차원으로 확장하여 평면에 적용한 것이 이중 선형 보간법(bilinear interpolation)이고, 이를 3차원으로 확장하여 입방체에 적용한 것이 삼중 선형 보간법(trilinear interpolation)이다.

프로그래밍 [ 편집 ]
선형 보간법은 다음과 같은 방법으로 프로그래밍을 할 수 있다.

// p1,p2를 d1:d2로 분할하는 p를 리턴한다. (단, d1+d2=1) float lerp ( float p1 , float p2 , float d1 ) { return ( 1 – d1 ) * p1 + d1 * p2 ; }

p1, p2사이의 임의의 지점 p에서의 데이터값 f(p)는 다음과 같다.

f ( p ) = d 2 f ( p 1 ) + d 1 f ( p 2 ) = f ( d 2 ∗ p 1 ) + f ( d 1 ∗ p 2 ) = f ( ( 1 − d 1 ) ∗ p 1 + d 1 ∗ p 2 ) {\displaystyle f(p)=d_{2}f(p_{1})+d_{1}f(p_{2})=f(d_{2}*p_{1})+f(d_{1}*p_{2})=f((1-d_{1})*p_{1}+d_{1}*p_{2})}

따라서, f ( p ) = f ( l e r p ( p 1 , p 2 , d 1 ) ) {\displaystyle f(p)=f(lerp(p1,p2,d1))}

같이 보기 [ 편집 ]

보간법 (Interpolation)

보간법 (Interpolation) 개념, 종류, 특징 (간략)

출처는 네이버 백과사전, 인터넷에 올려진 블로그, 카페 자료들, 위키피디아 등에서 발췌하여 특징만 간략히 정리한 것입니다. 혹시라도 문제가 되시면 바로 연락을… (신속한 삭제처리.. ㅋ)

실변수 x의 함수 f(x)의 모양은 미지이나, 어떤 간격을 가지는 2개 이상인 변수의 값 xi (i=1,2,…,n)에 대한 함수값 f(xi)가 알려져 있을 경우, 그 사이의 임의의 x에 대한 함수값을 추정하는 것을 말한다. 실험값이나 관측값으로부터 미지의 값을 추정하는 경우나 로그표 등의 함수표에서 표에 없는 함수값을 구하는 등의 경우에 이용된다. 가장 간단한 방법으로는 변수를 x좌표, 그 변수에 대한 이미 알고있는 함수값을 y좌표로 하는 점들을 이어 곡선을 그어, 구하고자 하는 함수값을 구하는 방법이다.

쉽게 설명하면 몇 개의 점으로 된 데이터를 가지고 있는데, 그 사이값이 필요하다면 보간법을 이용해 구할 수 있다. 보간법은 기존에 알고 있는 특정 지점이나 지역의 속성값을 이용하여 알고자 하는 지점 또는 지역의 속성값을 찾아내는 방법이다.

함수의 전개를 이용하여 변수 x0, x1의 근방에서 함수 f(x)를 근사적으로 나타내는 식

에 의하여 구할 수 있다. 이 식은 간단한 보간공식인데, 비례부분 또는 선형보간이라고 한다.

이 외에도 다양한 보간법이 있으며, 대략적인 개요와 특징은 다음과 같다.

@ 선형 보간법 (Linear Interpolation)

가장 간단한 방법으로 알고자 하는 함수가 직선의 함수라고 가정하고 함수값을 추정한다.

단순히 알려진 데이터 점들을 선형으로 이어주기만 하면 된다.

선형보간법은 쉽고 빠르지만 정확한 방법은 아니다.

@ 다항식 보간법 (Polynomial interpolation)

선형보간법은 1차 방정식인 반면에 다항식 보간법은 2차 이상의 다항식을 가진다.

데이터 점이 많을수록 다항식의 차수가 높아지므로 계산의 복잡성이 커진다.

데이터 점에 따라 다항식 자체가 많이 바뀌므로 제대로 된 보간을 기대하기 어렵다.

이러한 단점 때문에 Spline 보간법을 이용한다.

@ 스플라인 보간법 (Spline Interpolatin)

스플라인 보간법은 각 구간에서 낮은 차원의 다항식을 사용한다.

이 다항식은 앞∙뒤 구간의 다항식들과 자연스럽게 연결될 수 있는 것으로 선택한다.

각 점에서 앞∙뒤 스플라인 함수가 미분이 가능해야 하고 곡률도 같아야 한다.

그 외에도… @ 지수 보간법 (Exponential Interpolation) @ 로그_선형보간법 (Log_linear Interpolation) @ 라그랑지 보간법 (Lagrange Interpolation) @ 뉴튼 보간법 (Newton Interpolation) @ 2차원 보간법 (Bilinear Interpolation) 자세한 개념과 알고리즘, 보간공식, 예제 등은 공학서적 중 수치해석 책을 참조하세요~~ ● 공간 보간법 (GIS, Geographic information system Interpolation) 공간에 대한 통계자료가 필요할 때 가장 좋은 방법은 모든 지점에서 필요로 하는 자료를 직접 획득하는 것이다. 그러나 비용과 시간 등의 문제로 인하여 모든 지점에서 원하는 값을 얻는다는 것은 현실적으로 불가능하다. 따라서 많은 특정지점을 선정하여 관측값을 얻은 후에 이 데이터를 이용하여 알고자하는 지점의 값을 예측하는 방법이 사용되고 있으며, 이러한 과정에 공간 보간법이 이용된다. 대표적인 공간보간법은 IDW, Spline, Kriging 등이 있다.

선형 보간법과 적용 / Linear Interpolation and Application

<보간법 - Method of Interpolation>

보간법이란, 하나의 추정 방법으로, 실험과 조사로부터 관측된 데이터(x) 사이(중간)의 x값에 대해 함수값을 예측하는 방법입니다.

주어진 관측값들을 바탕으로 근사시킨 함수(f(x))를 이용하여, 직접 조사되지 않은 데이터(주어진 관측값들의 범위 안에 존재해야함) 에 대한 함수값을 예측하는 방법 인 것이죠.

예를 들어 설명해봅시다. 아버지의 일주일 총 운전거리와 기름의 비용, 그리고 한달 총 운전거리와 그에따른 기름의 양을 관측했다고 가정합시다.

일주일 총 운전거리가 350km이고 이에 따른 경유의 비용은 6만원이 관측, 한달 총 운전거리가 1400km 일때 이에 따른 경유의 비용은 24민원이 기록되었다고 가정합시다.

그렇다면 X1 의 값 350에 대응하는 Y1 함수값은 6만원이고, X2의 값 1400에 대응하는 Y2 함수값은 24만원 입니다.

즉, (350, 60000), (1400, 240000) 두 점을 생각하면 되겠죠?

위 두 점에 대한 정보를 가지고, 우리는 운전거리가 700km일때의 경유의 비용을 예측 할 수 있을까요?

이 질문에 대해, 위의 두 관측값들을 사용해 X3이 700일때의 Y3값을 예측하는데 사용하는 방법을 보간법(Method of Interpolation)이라고 합니다.

보간법 중에는, 우리에게 알려진 관측값들을 이용하여 다항함수를 이용해 곡선을 만들어 예측하는 다항식 보간법(Population interpolation), 관측값들의 끝점을 연결하는 직선을 만들어, 그 사이에 존재하는 값을 예측하는 선형 보간법(Linear interpolation) 이 있습니다. 오늘 포스팅에서 설명할 부분은 바로, 선형 보간법 입니다.

<보간법 vs 회귀분석>

보간법과 회귀법 모두 관측된 관측값들을 바탕으로, 관측되지 않은 x값에 대한 f(x) 함수값을 유추한다는 공통점이 있는데요,

실제로 보간과 회귀중 어떤 방법을 채택할지 정할때, 고려해야할 요소들이 있습니다.

우선, 회귀에서는, ‘최소 제곱법(Method of Least Squares)’ 을 바탕으로 관측된 점들의 오차를 가장 적게 만드는 선을 그어, 관측되지 않은 새로운 x 값에 대한 f(x) 값을 예측하는것입니다. ‘오차’를 가장 적게만드는데에 집중하는 만큼, 회귀분석은 오차의 존재를 순응하는 추정법이라고 할 수 있습니다. 관측한 관측값들이, 정확한 값이 아닐 수 있다는 전제하에서 출발하죠. 따라서, 다른 여러 요소들에 의해 영향을 많이 받을 수 있는 x와 y의 관계에 있어서는, 보간법보다 회귀분석을 사용하는것이 적절합니다. 또한, 관측된 x값의 범위 밖에 존재하는 x에 대해서도 회귀선을 통해 f(x)를 유추 할 수 있습니다.

이와는 조금 다르게, 보간에서는, 관측점들을 사실이라고 가정하고, 관측된 점들을 직접 직선 또는 곡선으로 잇는 방법입니다. 두 점이 주어졌다고 하면, 직선이 만들어지고, 세점 이상이 주어졌다면, 직선 혹은 곡선을 그어지게 되겠죠. 이렇게 만들어진 직선 혹은 곡선에, 관측하지 않은 x 값을 대입시켜 f(x)값을 예측하는 방법이 바로 보간 입니다. 또한, 보간법은 관측된 x값의 범위 밖에서는 성립되지 않고, 관측된 x값의 범위 내에서만 성립된다는 특징을 가집니다.

<선형 보간법 - Linear Interpolation>

위의 예시로, 선형 보간법을 다시 이어 설명해봅시다.

우리가 관측한 두 데이터 (x, y) 는 (350, 60000), (1400, 240000) 였습니다.

예측하고자 하는 값이 x값 700에 대응하는 함수값(f(x))를 찾기 위해서는, (350, 60000), (1400, 240000) 을 지나는 직선을 찾고 x = 700을 대입하면, 이에 대한 함수값이 나옵니다.

보간법은, 알려진 관측값들을 ‘사실’로 간주한 방법입니다. 즉, (350, 60000), (1400, 240000) 은 관측된 ‘사실’이기 때문에 두 점으로 고정시키는 것이죠.

이후, x = 700이라는 점에 대한 함수값은 어떻게 나타날지를, 위의 점들을 이어 생성된 직선으로 추론하는 방법이, 선형 보간법입니다.

x <- c(350, 1400) y <- c(60000, 240000) interp <- approx(x,y, xout = 700) interp plot(x,y) lines(approx(x,y)) points(interp, col = "red") <공식 추론>

f(x0) = y0

f(x1) = y1

x0

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