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Interpolation(인터폴레이션, 보간)이란 알려진 지점의 값 사이(중간)에 위치한 값을 알려진 값으로부터 추정하는 것을 말한다.
다크 프로그래머 :: 선형 보간법(linear, bilinear, trilinear interpolation)
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- Most searched keywords: Whether you are looking for 다크 프로그래머 :: 선형 보간법(linear, bilinear, trilinear interpolation) Updating 이 글은 1D 선형보간법(linear interpolation)을 2D로 확장한 bilinear interpolation과 3D로 확장한 trilinear interpolation이 어떤 식으로 이루어지는지와 이러한 interpolation 기법이 히스토그램(histogram)..
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보간(Interpolation)이란
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보간(Interpolation) : 네이버 블로그
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ë³´ê°ì´ë 무ìì ëê¹?
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보간법
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보간(Interpolation)이란
컴퓨터 비전에서 기본적으로 꼭 알아야할 보간.
보간(Interpolation)이란
①새로운 점을 만들기 위해 수많은 점들을 평균화시키는 것. 이 방법은 샘플점들을 직선으로 연결하지 않고 곡선으로 연결함으로써 본래 신호파형에 대한 변형을 최소화시켜 준다. ②영상신호의 표준방식 변환시 기존의 정보로부터 새로운 정보를 만들어야 하는데 가령 525라인에서 625라인을 만들 때 처리되는 방식을 말한다. [네이버 지식백과]
보간이란,
통계적 혹은 실험적으로 구해진 데이터들(xi)로부터,주어진 데이터를 만족하는 근사 함수(f(x))를 구하고,이 식을 이용하여 주어진 변수에 대한 함수 값을 구하는 일련의 과정을 의미한다.
예를 들어, (0, 0), (1, 10), (2, 20)이 주어졌을 때, 이들에 대한 근사 함수를 f(x) = 10x로 구하고, 1.5에 대한 함수 값으로 15를 구하는 것이다.
1) 선형 보간법
2) 라그랑제 다항식 보간법
1) 선형 보간법
은 주어진 두 점을 이은 직선의 방정식을 근사 함수로 사용하
는 단순한 방법이다.
함수 f(x)가 폐구간 [a,b] 위에서 정의되고, 이 구간에 있는 n개의 점 x1,x2, …, xn에 대하여 각각의 함수 값을 안다고 하자.
이때, 임의의 두 점 (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1))을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
*선형 보간법의 원리
2) 라그랑제 보간법
점들을 단순하게 직선으로 연결하는 것이 아니라, 여러 개의 점들을 지나는 곡선으로 연결하는 방법을 사용한다.
즉, 여러 개의 점들이 주어졌을 경우, 이들 점들을 지나는 다항식을 구하고, 이 다항식을 사용하여 주어진 점에 대한 보간 값을 구한다.
라그랑제의 식은 n차일때
쉽게 말해서,
보간은 두 점을 연결하는 방법을 의미한다.
여기서 말하는 연결은 궤적을 생성한다는 뜻이다.
보간이 필요한 이유는 정보를 압축한 것을 다시 복원하기 위함이다.
특징점이라 불리는 선의 모양 복원에 꼭 필요한 점듦나 취해서 저장하는데 이 과정을 sampling이라 부른다. 일반적으로 sampling은 일정 시간 주기로 선의 점을 취하는 방식을 사용하는데 녹음 기술에서 많이 쓴다.
보간(Interpolation)
보간은 두점을 연결하는 방법을 의미한다.
여기서 말하는 연결은 궤적(Trajectory)를 생성한다는 뜻이다.
보간이 필요한 이유는 정보를 압축한 것을 다시 복원하기 위함이다.
예를 들어 컴퓨터에서 선(Line)을 그린다고 가정해보자.
선은 점들의 집합이므로 선을 표현하기 위해 무수히 많은 점의 정보가 필요하다.
이를 다 저장하는 것은 메모리 낭비이다.
그래서, 특징점이라 불리는 선의 모양 복원에 꼭 필요한 점들만 취해서 저장하는데 이 과정을 Sampling이라 부른다.
일반적으로 Sampling은 일정 시간 주기로 선의 점을 취하는 방식을 사용하는데 녹음 기술에서 많이 쓴다.
Sampling은 시간 주기보다 선의 모양 변화가 심하면 올바른 정보를 취하지 못하는 단점이 있다.
그래서, Sampling은 최소 시간 주기를 잘 설정해야 한다.
Sampling으로 저장된 점들을 다시 원래대로 복원할 때 보간법이 사용된다.
앞에서 말했듯이 보간은 점과 점 사이를 연결하여 선을 만들기 위함이다.
선형 보간법(Linear Interpolation)
두 점을 연결하는 가장 간단한 방법은 직선을 긋는 것이다.
두 점 사이의 최소 거리가 되며 이런 방식을 선형 보간법이라 부른다.
(선형 보간법으로 선이 복원된 예)
이 알고리즘은 고등학교때 배웠던 직선의 방정식을 이용하면 쉽게 표현할 수 있다. (두 점을 지나는 직선의 방정식의 표현)
이 방법은 매우 간단하지만 문제가 있다.
위와 같이 원래 곡선이었던 경우 선형 보간법을 사용하면 점과 점 사이에서 오차가 발생한다.
즉, 선형 보간은 비슷하게는 복원할 수 있지만 정교하지 못한 것이 문제이다.
이 복원의 정교성은 일부 시스템 제어에서는 문제가 될 수 있기에 보다 좋은 복원 방법이 필요하다.
포물선 보간법(Parabolic Interpolation)
이 방법은 점과 점 사이를 포물선 방정식을 사용함으로써 보다 부드러운 곡선을 만들 수 있다.
포물선은 2차 함수이며 포물선을 그리기 위해서는 최소 3개의 점이 필요하다.
선형 보간에서는 최소 2개의 점이면 되지만, 포물선 보간은 최소 3개가 필요한 것이 차이점이다.
(3개의 점을 지나는 포물선의 예)
포물선 보간은 선형 보간에 비해 복잡하지만 보다 부드러운 곡선을 만듦으로써 원래 선에 가깝게 복원할 수 있다.
그러나, 이 방법에는 단점이 있다.
3개씩 단위로 보간하다보면 급격하게 선이 꺽이는 문제가 나타난다.
그러므로, 뭔가 더 자연스럽게 복원할 수 있는 방법이 필요하다.
Newton, Lagrange 보간법
이것은 다항식(Polynominal)을 이용하는 방식이다.
보다 정확히 말하면 N차 다항식이다.
(다항식의 모습)
이것은 수치해석의 급수 표현에서 나온 개념이다.
좀 어렵지만 나름 쉽게 표현한다면 모든 수는 N개의 상관 관계로 표현 가능하다라는 것이다.
여기서 상관 관계란 미분(Difference)을 뜻한다.
미분은 차이를 뜻하며 이것들의 곱은 N차 식으로 표현된다는 데이서 기인한 것이다.
여기서 N개는 그 수가 많으면 많을수록 원래 수에 가깝게 간다.
위와 같은 원리로 N개의 점이 주어졌을 때, Newton, Lagrange 보간을 사용하면 원래 선에 가까운 곡선을 얻을 수 있다.
다항식으로 보간하는 방법은 아주 많은 연산이 필요하기에 컴퓨터가 발달하기 전까지는 개념으로만 존재했다.
또한, 전체 점이 한꺼번에 주어지는 것이 아닌 순차적으로 주어지는 경우는 계산하기가 어렵다는 단점이 있다.
스플라인 보간(Spline Interpolation)
스플라인 보간은 아주 자연스러운 곡선을 만들 수 있는 방법이다.
이것은 그림을 그리는 프로그램에서 곡선을 표현하기 위해 많이 사용된다.
(스플라인 보간의 원리)
스플라인 보간은 3차 다항식을 사용한다. 포물선 보간은 2차 다항식을 사용하는것에 비해 더 복잡하다.
그렇지만, 더 자연스럽고 부드러운 곡선을 얻을 수 있다.
3차 다항식을 구성하기 위해서는 4개의 점이 필요하다.
보간은 일부 정보만 가지고 원래의 것을 복원하는 방법이다.
정보가 많으면 많을 수록 복원이 쉬워지는데, 이것이 바로 다항식의 원리이다.
정보가 많으면 다항식의 차수가 높아진다는 말이고 연산이 복잡하고 오래 걸리는 문제가 있다.
정밀도가 많이 필요하면 다항식의 차수를 높일 필요가 있겠지만, 스플라인의 경우 3차 정도면 충분하다.
보간이란 무엇입니까?
보간이란 무엇입니까?
보간에는 두 점 사이의 값을 추정하기 위해 일련의 데이터 점에서 패턴을 발견하는 것이 포함됩니다. 선형 보간은 보간하는 가장 간단한 방법 중 하나입니다. 두 점을 연결하는 선이 중간 값을 추정하는 데 사용됩니다. 고차 다항식은 선형 함수를 대체하여보다 정확하지만 복잡한 결과를 얻을 수 있습니다. 보간법은 외삽 법과 대조 될 수 있는데, 이는 외삽 법 대신 점 집합 외부 의 값을 추정하는 데 사용됩니다.
개별 데이터 포인트 세트에는 둘 이상의 좌표가있는 포인트가 있습니다. 일반적인 XY 산점도에서 가로 변수는 x이고 세로 변수는 y입니다. x 및 y 좌표가 모두있는 데이터 포인트를이 그래프에 플롯하여 쉽게 시각화 할 수 있습니다. 실제 응용에서 x와 y는 모두 유한 한 실제 수량을 나타냅니다. X는 일반적으로 시간 또는 공간과 같은 독립 변수를 나타내고, y는 모집단과 같은 종속 변수를 나타냅니다.
종종 데이터는 개별 지점에서만 수집 할 수 있습니다. 한 국가의 인구를 모니터링하는 예에서, 인구 조사는 특정 시간에만 가능합니다. 이러한 측정은 XY 차트에서 개별 데이터 포인트로 표시 될 수 있습니다.
인구 조사를 5 년마다 실시하면 인구 조사 사이의 정확한 인구를 알 수 없습니다. 선형 보간에서 두 개의 데이터 포인트는 선형 함수로 연결됩니다. 이는 종속 변수 (인구)가 일정한 속도로 변경되어 다음 데이터 포인트에 도달하는 것으로 가정합니다. 인구 조사 1 년 후 모집단이 필요한 경우 연결선을 기준으로 중간 값을 추정하기 위해 두 데이터 점을 선형 보간 할 수 있습니다. 실수 변수가 데이터 포인트간에 선형 적으로 변하지 않는 것이 일반적이지만,이 단순화는 종종 충분히 정확합니다.
그러나 선형 보간으로 인해 추정에 너무 많은 오차가 발생하는 경우가 있습니다. 예를 들어, 인구는 많은 시나리오에서 기하 급수적으로 증가합니다. 기하 급수적으로는 성장률 자체가 증가하고 있습니다. 인구가 많을수록 더 많은 출생이 생겨 인구가 증가하는 총 비율이 증가합니다. XY 산점도에서 이러한 종류의 동작은 “위로 곡선”경향을 나타냅니다.보다 정확한 보간 방법이 이러한 종류의 연구에 적합 할 수 있습니다.
다항식 보간에는 다항식 함수를 사용하여 수많은 데이터 요소를 연결하는 작업이 포함됩니다. 선형 함수는 실제로 단순한 다항식 함수, 즉 다항식의 차수입니다. 그러나 다항식은 1보다 높은 차수를 가질 수 있습니다. 차수 2는 포물선, 차수 3은 3 차 함수 등입니다. 모집단 데이터 포인트 세트는 선형 함수보다 다항식 함수로 더 잘 보간 될 수 있는데, 전자는 데이터에 맞게 위아래로 구부릴 수 있기 때문입니다.
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