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삼각함수 변형

[수학I] 15. 삼각함수 공식 : 삼각함수 사이의 관계, 삼각함수 변환 (개념+수학문제)

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[수학I] 15. 삼각함수 공식 : 삼각함수 사이의 관계, 삼각함수 변환 (개념+수학문제)

[2020-09-23] 수정

학습지 빠른 정답의 일부 내용이 문제와 달라 수정하였습니다.

| 같이 보면 좋은 글

📄 [수학I] 삼각함수(sin,cos,tan)의 뜻

| 삼각함수 사이의 관계
[정리] 삼각함수 사이의 관계는 다음과 같습니다.
[정리] 삼각함수는 동경이 나타내는 사분면에 따라 부호가 정해집니다.

제 1사분면 : 모두(sinθ,cosθ,tanθ) 양수

제 2사분면 : sinθ이 양수

제 3사분면 : tanθ가 양수

제 4사분면 : cosθ이 양수

| 삼각함수 변환하기

삼각함수를 다른 삼각함수로 고쳐봅시다.

이 문제는 코사인 값을 이용해 사인 값을 구한 뒤, 두 값을 바탕으로 탄젠트 값을 구해야 합니다.

위 방법으로 문제를 풀면 다음과 같습니다.

이 문제는 탄젠트 값을 바탕으로 사인과 코사인 값을 알아내야 합니다.

| 학습지 미리보기

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2020SP H2-15.pdf 0.15MB

| 닫는 말

삼각함수 사이의 관계는 두 공식을 통해 나타낼 수 있습니다. 공식을 활용하면 삼각함수를 다른 삼각함수로 고칠 수 있습니다. 이번 학습지는 사분면 위에 있는 각에 대하여 삼각함수를 다른 삼각함수로 고치는 문제입니다.

sin과 cos이 주어진 경우에는 각각 cos과 sin을 구한 후, tan값을 구해야 합니다.tan가 주어진 경우에는 sin^2+cos^2=1임을 이용하여 sin과 cos값을 도출할 수 있습니다.

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삼각 함수의 변환 공식. 기본 삼각법 공식

삼각법에는 많은 공식이 있습니다.

그것들을 기계적으로 암기하는 것은 매우 어렵고 거의 불가능합니다. 교실에서 많은 학생과 학생들은 교과서와 공책의 끝지, 벽에 붙은 포스터, 유아용 침대, 그리고 마지막으로 인쇄물을 사용합니다. 시험은 어떻습니까?

그러나 이러한 공식을 자세히 살펴보면 모두 서로 연결되어 있고 특정 대칭을 가지고 있음을 알 수 있습니다. 정의 및 속성 측면에서 분석해 보겠습니다. 삼각 함수암기할 가치가 있는 최소값을 결정합니다.

그룹 I. 기본 ID

죄 2 α + 코스 2 α = 1;

tgα = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;

tgα · ctgα = 1;

1 + TG 2 α = _____ 1 cos 2 α; 1 + CTG 2 α = _____ 1 죄 2 α.

이 그룹에는 가장 간단하고 인기 있는 공식이 포함되어 있습니다. 대부분의 학생들이 알고 있습니다. 그러나 여전히 어려움이 있다면 처음 세 공식을 기억하기 위해 정신적으로 상상해보십시오. 정삼각형 1과 같은 빗변으로. 그러면 그의 다리는 각각 사인의 정의에 따른 sinα(빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율)와 코사인의 정의에 따른 cosα(비변에 대한 인접한 다리의 비율)가 됩니다.

첫 번째 공식은 이러한 삼각형에 대한 피타고라스 정리입니다. 다리의 제곱의 합은 빗변의 제곱(1 2 = 1)과 같고, 두 번째와 세 번째는 접선의 정의입니다(비 인접한 다리에 대한 반대쪽 다리) 및 코탄젠트(인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율).

접선과 코탄젠트의 곱은 분수(공식 3)로 작성된 코탄젠트가 역탄젠트(공식 2)이기 때문에 1입니다. 그런데 후자를 고려하면 외워야 하는 공식의 수에서 코탄젠트가 있는 모든 후속 긴 공식을 제외할 수 있습니다. 만약에 어려운 일당신은 ctgα를 만날 것입니다, 그냥 분수로 바꾸십시오 ___ 1tgα접선에 대한 공식을 사용합니다.

마지막 두 공식은 미리 기호로 외울 필요가 없습니다. 덜 일반적입니다. 필요한 경우 언제든지 초안에 다시 인쇄할 수 있습니다. 이렇게하려면 분수 (각각 두 번째 및 세 번째 공식)를 통해 정의의 접선 또는 접선 대신 대체하고 표현을 다음으로 줄이는 것으로 충분합니다. 공통분모… 그러나 탄젠트와 코사인의 제곱, 코탄젠트와 사인의 제곱을 연결하는 공식이 존재한다는 것을 기억하는 것이 중요합니다. 그렇지 않으면 특정 문제를 해결하기 위해 어떤 변환이 필요한지 추측하지 못할 수 있습니다.

그룹 II. 덧셈 공식

sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin(α – β) = sinα · cosβ – cosα · sinβ;

cos (α + β) = cosα · cosβ – sinα · sinβ;

cos (α – β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg(α + β) = tgα + tgβ _________ 1 – tgα · tgβ;

tg(α – β) =

삼각 함수의 홀수/짝수 패리티 속성을 기억하십시오.

죄(-α) = – 죄(α); cos(-α) = cos(α); tg(−α) = – tg(α).

모든 삼각 함수 중 코사인만 짝수 함수이며 인수(각도) 부호가 변경될 때 부호가 변경되지 않고 나머지 함수는 홀수입니다. 함수의 기이함은 사실 빼기 기호가 함수 기호 외부에 도입되고 제거될 수 있음을 의미합니다. 따라서 두 각도의 차이가 있는 삼각식을 접하게 되면 항상 양의 각도와 음의 각도의 합으로 이해할 수 있습니다.

예를 들어, 죄( NS- 30º) = 죄( NS+ (−30º)).

다음으로 두 각의 합에 대한 공식을 사용하고 기호를 처리합니다.

죄( NS+ (−30º)) = 죄 NS· cos(−30º) + cos NS죄(−30º) =

= 죄 NS· Cos30º – cos NS· Sin30º.

따라서 각도의 차이를 포함하는 모든 공식은 첫 번째 암기 중에 간단히 건너뛸 수 있습니다. 그런 다음 복원하는 방법을 배울 가치가 있습니다. 일반보기먼저 초안에서, 그리고 나서 정신적으로.

예를 들어, tan(α – β) = tan(α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 – tgα · tg (−β) = tgα – tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

이것은 미래에 삼각법에서 특정 작업을 해결하기 위해 적용해야 하는 변환을 빠르게 추측하는 데 도움이 될 것입니다.

쉬 그룹. 다중 인수 공식

sin2α = 2 sinα cosα;

cos2α = cos 2 α – sin 2 α;

tg2α = 2tgα _______ 1 – tg 2 α;

sin3α = 3sinα – 4sin 3α;

cos3α = 4cos 3α – 3cosα.

이중 각도의 사인과 코사인에 대한 공식을 사용해야 할 필요성이 매우 자주 발생하며 탄젠트에 대해서도 매우 자주 발생합니다. 이 공식은 마음으로 알아야 합니다. 또한, 암기하는 데 어려움이 없습니다. 첫째, 공식이 짧습니다. 둘째, 2α = α + α라는 사실을 기반으로 이전 그룹의 공식에 따라 제어하기 쉽습니다.

예를 들어:

sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin(α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;

sin2α = 2sinα cosα.

그러나 이전 공식이 아닌 이러한 공식을 빨리 배운 경우 반대를 수행할 수 있습니다. 이중 각에 대한 해당 공식을 사용하여 두 각의 합 공식을 기억할 수 있습니다.

예를 들어, 두 각의 합에 대한 코사인 공식이 필요한 경우:

1) 이중 각의 코사인 공식을 기억하십시오. 코스2 NS= 코스 2 NS- 죄 2 NS;

2) 길게 칠합니다. 왜냐하면 ( NS + NS) = 코사인 NS코사인 NS- 죄 NS죄 NS;

3) 하나를 교체 NSα에 의해, 두 번째는 β에 의해: cos (α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ.

합의 사인과 합의 탄젠트에 대한 공식을 복원하는 것과 같은 방법으로 연습합니다. 예를 들어 USE와 같은 중요한 경우 알려진 1/4분기를 사용하여 복원된 공식의 정확성을 확인하십시오: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

이전 공식 확인(3행에서 대체하여 얻음):

하자 α = 60°, β = 30°, α + β = 90°,

그 다음에 cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _ / 2, sinα = sin60 ° = √3 _ / 2, sinβ = sin30 ° = 1/2;

값을 공식으로 대체하십시오. 0 = (1/2) ( √3_ /2) − (√3_ / 2) (1/2);

0 ≡ 0, 오류가 발견되지 않았습니다.

내 생각에 삼중 각에 대한 공식은 특별히 “밀착”될 필요가 없습니다. 시험과 같은 시험에서는 매우 드뭅니다. 위의 공식에서 쉽게 추론할 수 있습니다. sin3α = 죄(2α + α). 그리고 어떤 이유로 이 공식을 여전히 마음으로 배워야 하는 학생들을 위해 특정 “대칭”에 주의를 기울이고 공식 자체가 아니라 니모닉 규칙을 암기하는 것이 좋습니다. 예를 들어 두 수식 “33433433”에서 숫자가 있는 순서 등입니다.

IV 그룹. 합계/차이 – 제품으로

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2코사인 α – β ____ 2 ;

sinα – sinβ = 2 죄 α – β ____ 2코사인 α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2코사인 α – β ____ 2 ;

cosα – cosβ = −2 sin α – β ____ 2죄 α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = 죄 (α + β) ___________ cosα cosβ ;

tgα – tgβ = 죄 (α – β) ___________ cosα cosβ .

사인 및 탄젠트 함수의 이상한 속성 사용: 죄(-α) = – 죄(α); tg(−α) = – tg(α),

두 함수의 차에 대한 공식을 합에 대한 공식으로 줄이는 것이 가능합니다. 예를 들어,

sin90º – sin30º = sin90º + sin(−30º) = 2 · sin 90º + (−30º) __________ 2코사인 90º – (−30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.

따라서 사인과 접선의 차이 공식을 바로 외울 필요는 없습니다.

코사인의 합과 차이가 있는 상황은 더 복잡합니다. 이러한 공식은 서로 바꿔 사용할 수 없습니다. 그러나 다시 코사인 패리티를 사용하면 다음 규칙을 기억할 수 있습니다.

합 cosα + cosβ는 각도 부호의 변경에 대해 부호를 변경할 수 없으므로 제품도 짝수 함수로 구성되어야 합니다. 두 개의 코사인.

차이 cosα – cosβ의 부호는 함수 자체의 값에 따라 달라집니다. 즉, 곱의 부호는 각도의 비율에 따라 달라야 하므로 제품은 홀수 함수로 구성되어야 합니다. 두 개의 부비동.

그러나 이 공식 그룹은 외우기가 가장 쉽지 않습니다. 벼락치기를 덜 하는 것이 좋지만 더 많이 확인하는 것이 좋은 경우입니다. 담당 시험에서 공식의 실수를 피하기 위해 먼저 초안에 적어두고 두 가지 방법으로 확인하십시오. 먼저 β = α 및 β = −α를 치환한 다음, 소각에 대한 함수의 알려진 값을 사용합니다. 이를 위해서는 위의 예와 같이 90º와 30º를 취하는 것이 가장 좋은데, 이들 값의 반합과 반차를 다시 간단한 각도로 만들어 평등이 항등성이 되는 과정을 쉽게 볼 수 있기 때문입니다. 올바른 옵션을 위해. 또는 반대로 실수한 경우에는 실행되지 않습니다.

예시공식 확인하기 cosα – cosβ = 2 sin α – β ____ 2죄 α + β ____ 2코사인 차이에 대해 실수로 !

1) β = α라고 하면 cosα – cosα = 2 sin α – α _____ 2죄 α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα – cosα ≡ 0.

2) β = – α라고 하면 cosα – cos(- α) = 2 sin α – (−α) _______ 2죄 α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα – cos (- α) = cosα – cosα ≡ 0.

이러한 검사를 통해 수식의 함수가 올바르게 사용되었음을 보여주었지만 항등식이 0 ≡ 0 형식으로 밝혀졌기 때문에 부호나 계수의 오류를 놓칠 수 있었습니다. 우리는 세 번째 검사를 수행합니다.

3) α = 90º, β = 30º, cos90º – cos30º = 2 · sin 90º – 30º ________ 2죄 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 – cos30 = 0 – √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

오류는 실제로 표지판에 있었고 작업 전 표지판에만있었습니다.

그룹 V. 제품 – 총액/차이

sinα sinβ = 1 _ 2 (Cos(α – β) – cos(α + β));

cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos(α – β) + cos(α + β));

sinα cosβ = 1 _ 2 (죄 (α – β) + 죄 (α + β)).

다섯 번째 공식 그룹의 이름은 이러한 공식이 이전 그룹의 반대임을 암시합니다. 이 경우 다시 배우는 것보다 초안에서 공식을 복원하는 것이 더 쉬우므로 “머리에 혼란”이 생길 위험이 높아집니다. 수식의 더 빠른 복구를 위해 집중해야 하는 유일한 것은 다음과 같은 평등입니다(확인).

α = α + β ____ 2 + α – β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α – β ____ 2.

고려하다 예시:제품 sin5를 변환해야 합니다. NS코스3 NS두 개의 삼각 함수의 합으로.

제품에는 사인과 코사인이 모두 포함되어 있으므로 이전 그룹에서 이미 학습한 사인의 합 공식을 가져와서 초안에 적습니다.

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2코사인 α – β ____ 2

하자 5 NS = α + β ____ 2그리고 3 NS = α – β ____ 2, α = α + β ____ 2 + α – β ____ 2 = 5NS + 3NS = 8NS, β = α + β ____ 2 − α – β ____ 2 = 5NS − 3NS = 2NS.

초안의 공식에서 변수 α와 β로 표현된 각도 값을 변수로 표현된 각도 값으로 바꿉니다 NS.

우리는 얻는다 죄8 NS+ 죄2 NS= 2 죄5 NS코스3 NS

우리는 평등의 두 부분을 2로 나누고 깨끗한 사본에 오른쪽에서 왼쪽으로 씁니다. 죄5 NS코스3 NS = 1 _ 2 (죄8 NS+ 죄2 NS). 답변이 준비되었습니다.

VI 그룹. 도 감소 공식

교과서에 합/차를 6의 곱으로 변환하는 공식과 역수(곱 또는 차를 곱하기 위해)를 변환하는 공식이 3개뿐인 이유를 설명하십시오.

코스 2 α = 1 + cos2α ____________ 2;

죄 2α = 1 – cos2α ____________ 2;

코스 3 α = 3cosα + cos3α ___________ 4;

죄 3 α = 3sinα – sin3α ___________ 4.

이 그룹의 처음 두 공식은 매우 필요합니다. 레벨을 포함한 삼각 방정식을 풀 때 자주 사용됩니다. 통합 시험, 삼각함수 유형의 적분을 포함하는 적분을 계산할 때뿐만 아니라.

다음 “한 이야기” 형식으로 기억하는 것이 더 쉬울 수 있습니다.

2cos 2 α = 1 + cos2α;

2 sin 2 α = 1 – cos2α,

머리나 초안에서 항상 2로 나눌 수 있습니다.

시험에서 다음 두 공식(함수의 큐브 포함)을 사용해야 하는 경우는 훨씬 적습니다. 다른 설정에서는 항상 초안을 사용할 시간이 있습니다. 이 경우 다음 옵션이 가능합니다.

1) III군의 마지막 두 공식을 기억한다면, 그것들을 사용하여 간단한 변환으로 sin 3 α와 cos 3 α를 표현하십시오.

2)이 그룹의 마지막 두 공식에서 암기에 기여하는 대칭 요소를 발견하면 초안에 공식의 “스케치”를 적고 주요 각도의 값으로 확인하십시오.

3) 정도를 낮추는 공식이 존재한다는 사실 외에도 그것에 대해 아무것도 모른다면 sin 3 α = sin 2 α · sinα 및 기타 학습 된 사실을 기반으로 단계적으로 문제를 해결하십시오. 방식. 제곱에 대한 차수 감소 공식과 곱을 합으로 변환하는 공식이 필요합니다.

VII 그룹. 절반 인수

죄 α _ 2 = ± √ 1 – 코사인 _______ 2; _____

코사인 α _ 2 = ± √ 1 + 코사인 _______ 2; _____

tg α _ 2 = ± √ 1 – cosα ________ 1 + cosα. _____

교과서와 참고서에 나와 있는 형식으로 이 공식 그룹을 암기하는 것은 의미가 없습니다. 당신이 그것을 이해한다면 α는 2α의 절반이고, 그러면 이것은 빠르게 추론하기에 충분합니다. 원하는 공식처음 두 감소 공식을 기반으로 하는 half 인수.

이것은 반각의 탄젠트에도 적용되며, 공식은 사인 표현식을 해당 코사인 표현식으로 나누어 구합니다.

검색할 때만 잊지 마세요. 제곱근간판을 달다 ± .

VIII 그룹. 보편적인 대체

죄α = 2tg (α / 2) _________ 1 + 탄 2 (α / 2);

코스α = 1 – 탄 2 (α / 2) __________ 1 + 탄 2 (α / 2);

tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 – tg 2 (α / 2).

이 공식은 모든 종류의 삼각 문제를 푸는 데 매우 유용할 수 있습니다. 그들은 “하나의 인수 – 하나의 기능”의 원칙을 구현할 수 있도록 하여 복잡한 삼각법 표현식을 대수 표현식으로 줄이는 변수 변경을 허용합니다. 이 대체가 보편적이라고 불리는 것은 이유가 없습니다.

처음 두 공식을 배워야 합니다. 세 번째는 접선 tgα =의 정의에 따라 처음 두 개를 서로 나누어 얻을 수 있습니다. sinα ___ cosα

IX 그룹. 주조 공식.

엑스그룹. 주요 각도 값.

이 삼각법 공식 그룹을 이해하려면 다음을 전달하십시오.1/4의 주요 각도에 대한 삼각 함수의 값은 다음과 같습니다.

그래서 우리는 산출: 삼각법 공식을 알아야 합니다. 클수록 좋습니다. 그러나 무엇에 시간과 노력을 들일지 – 공식을 암기하거나 문제를 푸는 과정에서 복구하는 것은 모두가 스스로 결정해야합니다.

삼각법 공식을 사용하는 작업의 예

죄5 NS코스3 NS- 죄8 NS코스6 NS = 0.

방정식 풀기

우리는 두 가지 다른 죄 함수() 및 cos () 및 4! 다른 주장 5 NS, 3NS, 8NS그리고 6 NS… 예비 변환이 없으면 가장 단순한 유형의 삼각 방정식으로 축소할 수 없습니다. 따라서 우리는 먼저 제품을 기능의 합이나 차이로 대체하려고합니다.

위의 예와 같은 방식으로 이 작업을 수행합니다(섹션 참조).

죄 (5 NS + 3NS) + 죄 (5 NS − 3NS) = 2 죄5 NS코스3 NS

죄8 NS+ 죄2 NS= 2 죄5 NS코스3 NS

죄 (8 NS + 6NS) + 죄 (8 NS − 6NS) = 2 죄8 NS코스6 NS

죄14 NS+ 죄2 NS= 2 죄8 NS코스6 NS

이러한 평등의 곱을 표현하여 방정식에 대입합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

(죄8 NS+ 죄2 NS) / 2 – (죄14 NS+ 죄2 NS)/2 = 0.

우리는 방정식의 양쪽에 2를 곱하고 대괄호를 열고 유사한 항을 제공합니다

Sin8 NS+ 죄2 NS- 죄14 NS- 죄2 NS = 0;

죄8 NS- 죄14 NS = 0.

방정식이 훨씬 간단해졌지만 다음과 같이 해결하십시오. sin8 NS= 죄14 NS, 따라서 8 NS = 14NS+ T(여기서 T는 마침표)는 이 기간의 의미를 모르기 때문에 올바르지 않습니다. 따라서 평등의 오른쪽에 0이 있다는 사실을 사용하여 모든 표현식에서 요인을 쉽게 비교할 수 있습니다.

죄를 확장하려면8 NS- 죄14 NS요인에 따라 차이에서 제품으로 가야합니다. 이렇게 하려면 사인의 차이에 대한 공식을 사용하거나 사인의 합과 사인 함수의 홀수에 대한 공식을 다시 사용할 수 있습니다(섹션의 예 참조).

죄8 NS- 죄14 NS= 죄8 NS+ 죄(−14 NS) = 2 죄 8NS + (−14NS) __________ 2 코사인 8NS − (−14NS) __________ 2 = 죄(−3 NS) 코스11 NS= -sin3 NS코스11 NS.

따라서 방정식 sin8 NS- 죄14 NS= 0은 방정식 sin3과 동일합니다. NS코스11 NS= 0, 이는 차례로 두 개의 가장 간단한 방정식 sin3의 조합과 동일합니다. NS= 0 및 cos11 NS= 0. 후자를 풀면 두 가지 시리즈의 답을 얻습니다.

NS 1 = 파이 N/3, NϵZ

NS 2 = 파이 / 22 + 파이 케이/11, 케이ϵZ

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모든 인수 값에 대해 실행(공통 범위에서).

보편적인 대체 공식.

이 공식을 사용하면 하나의 인수에 대한 다양한 삼각 함수를 포함하는 표현식이 하나의 함수의 합리적인 표현식으로 쉽게 변합니다. tg (α / 2):

합계를 곱으로, 곱을 합계로 변환하는 공식.

이전에는 이러한 공식을 사용하여 계산을 단순화했습니다. 로그는 숫자를 곱하는 데 가장 적합하기 때문에 로그 테이블과 나중에 슬라이드 규칙을 사용하여 계산됩니다. 그래서 각각의 초기 표현을 로그를 취하기 편리한 형태, 즉 곱으로 축소한 것입니다. 예를 들어:

2 죄 α 죄 NS = 코사인 (α – NS) – 코사인 (α + NS);

2 코사인 α 코사인 NS = 코사인 (α – NS) + 코사인 (α + NS);

2 죄 α 코사인 NS = 죄 (α – NS) + 죄 (α + NS).

특히 각도는 어디에 있습니까?

탄젠트 및 코탄젠트 함수에 대한 공식은 위에서 쉽게 유도됩니다.

학위 감소 공식.

죄 2 α = (1 – cos 2α) / 2; cos 2 α = (1 + cos 2α) / 2; 죄 3α = (3 죄α – 죄 3α )/4; cos 3 a = (3 cosα + 코스 3α )/4.

이 공식을 사용하여 삼각 방정식더 많은 방정식으로 쉽게 축소됩니다. 낮은 학위… 감소 공식은 더 많은 것에 대해 동일한 방식으로 유도됩니다. 높은 학위 죄그리고 코사인.

같은 인수에 대한 삼각 함수의 표현.

루트 앞의 기호는 각도의 1/4에 따라 다릅니다. α .

가장 단순한 삼각 아이덴티티

몇 가지 문제를 해결하기 위해 삼각법 ID 테이블이 유용할 것이므로 함수 변환을 훨씬 쉽게 수행할 수 있습니다.

각도 알파의 사인을 같은 각도의 코사인으로 나눈 몫은 이 각도의 탄젠트와 같습니다(공식 1). 또한 가장 단순한 삼각 항등식 변환의 정확성 증명을 참조하십시오.

알파 각도의 코사인을 같은 각도의 사인으로 나눈 몫은 같은 각도의 코탄젠트와 같습니다(공식 2).

각도 할선 하나와 같다같은 각도의 코사인으로 나눈 값(공식 3)

사인의 제곱과 같은 각도의 코사인의 합은 1과 같습니다(공식 4). 코사인과 사인의 제곱합 증명도 참조하십시오.

단위와 각도의 탄젠트의 합은 이 각도의 코사인 제곱에 대한 단위의 비율과 같습니다(공식 5).

단위에 각도의 코탄젠트를 더한 값은 1을 이 각도의 사인 제곱으로 나눈 몫과 같습니다(공식 6).

같은 각도의 탄젠트와 코탄젠트의 곱은 1과 같습니다(공식 7).

삼각 함수의 음수 각도 변환(짝수 및 홀수)

사인, 코사인 또는 탄젠트를 계산할 때 각도 측정의 음수 값을 제거하기 위해 삼각 함수의 짝수 또는 홀수 원칙에 따라 다음과 같은 삼각 변환(식별)을 사용할 수 있습니다.

본 것처럼, 코사인그리고 시컨트는 짝수 기능, 사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 홀수 함수입니다..

음의 각도의 사인은 동일한 양의 각도의 음의 사인과 같습니다(마이너스 사인 알파).

코사인 “마이너스 알파”는 각도 알파의 코사인과 동일한 값을 제공합니다.

탄젠트 마이너스 알파는 마이너스 탄젠트 알파와 같습니다.

이중각 감소 공식(이중각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트)

각도를 반으로 나누거나 그 반대로 해야 하는 경우 이중 각도에서 단일 각도로 이동하려면 다음과 같은 삼각법을 사용할 수 있습니다.

이중 각도 변환 (이중각의 사인, 이중각의 코사인 및 이중각의 탄젠트)은 다음 규칙에 따라 발생합니다.

이중 각 사인단일 각도의 사인과 코사인 곱의 두 배와 같습니다.

이중 각의 코사인단일 각도의 코사인 제곱과 이 각도의 사인 제곱의 차이와 같습니다.

이중 각의 코사인단일 각도에서 1을 뺀 코사인의 제곱의 두 배와 같습니다.

이중 각의 코사인단일 각도의 1 빼기 이중 사인 제곱과 같습니다.

이중 각도 탄젠트분자는 단일 각의 2배 탄젠트이고 분모는 1에서 단일 각의 제곱의 탄젠트를 뺀 것과 같습니다.

이중각 코탄젠트분자는 단일 각의 코탄젠트의 제곱에서 1을 뺀 값이고 분모는 단일 각의 코탄젠트의 두 배인 분수와 같습니다.

범용 삼각 치환 공식

아래 변환 공식은 삼각 함수(sin α, cos α, tan α)의 인수를 2로 나누고 식을 각도의 절반으로 줄여야 할 때 유용할 수 있습니다. α 값에서 α / 2를 얻습니다.

이러한 공식을 보편적인 삼각 치환 공식… 그들의 가치는 삼각 함수에 관계없이 도움이되는 삼각 식이 반각의 탄젠트 표현으로 축소된다는 사실에 있습니다. 죄 때문에 tg ctg)는 원래 표현식에 있었습니다. 그 후, 반각의 탄젠트를 갖는 방정식은 훨씬 더 쉽게 풀 수 있습니다.

반각의 삼각 변환

각도 추가를 위한 삼각 공식

다음은 반각을 정수 값으로 삼각 변환하는 공식입니다.삼각 함수 α / 2의 인수 값은 삼각 함수 α의 인수 값으로 축소됩니다.

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

죄(α + β) = 죄 α cos β + 죄 β cos α

죄 (α – β) = 죄 α cos β – 죄 β cos α

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

각도의 합에 대한 탄젠트 및 코탄젠트알파 및 베타는 다음 삼각 함수 변환 규칙에 따라 변환될 수 있습니다.

각도 합계의 탄젠트분자는 첫 번째 각의 탄젠트와 두 번째 각의 탄젠트의 합이고 분모는 1에서 첫 번째 각의 탄젠트와 두 번째 각의 탄젠트의 곱을 뺀 값인 분수와 같습니다. .

각도 차이 탄젠트분자는 감소된 각도의 탄젠트와 뺀 각의 탄젠트 간의 차이와 같고 분모는 1에 이러한 각도의 접선의 곱을 더한 값과 같습니다.

각도의 합 코탄젠트분자는 이러한 각도의 코탄젠트에 1을 더한 값과 같으며 분모는 두 번째 각도의 코탄젠트와 첫 번째 각도의 코탄젠트 간의 차이와 같습니다.

각도 차이 코탄젠트분자는 이러한 각도에서 1을 뺀 코탄젠트의 곱이고 분모는 분수와 같습니다. 합과 같다이 각도의 코탄젠트.

이러한 삼각법은 예를 들어 105도의 탄젠트(tg 105)를 계산해야 할 때 사용하기 편리합니다. tg(45 + 60)로 나타내면 각도 합의 접선에 대해 주어진 동일한 변환을 사용한 다음 접선 45와 접선 60도의 표 값을 간단히 대체할 수 있습니다.

삼각 함수의 합 또는 차 변환 공식

삼중 각 공식 – sin3α cos3α tg3α를 sinα cosα tgα로 변환

삼각 함수의 곱에 대한 변환 공식

삼각 함수 감소 공식

sin α + sin β 형식의 합을 나타내는 표현식은 다음 공식을 사용하여 변환할 수 있습니다.때로는 각도 α가 3α 대신 삼각 함수의 인수가 되도록 각도의 삼중 값을 변환해야 합니다.이 경우 삼중각 변환 공식(식별)을 사용할 수 있습니다.다른 각도의 코사인 각도의 사인 곱 또는 사인과 코사인의 곱을 변환해야 하는 경우 다음 삼각 항등식을 사용할 수 있습니다.이 경우 서로 다른 각도의 사인, 코사인 또는 탄젠트 함수의 곱이 합 또는 차이로 변환됩니다.

다음과 같이 캐스트 테이블을 사용해야 합니다. 줄에서 관심 있는 기능을 선택하십시오. 열에는 모서리가 포함됩니다. 예를 들어, 첫 번째 행과 첫 번째 열의 교차점에서 각도(α + 90)의 사인은 sin(α + 90) = cos α임을 알 수 있습니다.

V 동일한 변형 삼각 표현다음 대수 기술을 사용할 수 있습니다. 동일한 용어의 덧셈과 뺄셈; 괄호에서 공통 요소를 제거합니다. 같은 양의 곱셈과 나눗셈; 약식 곱셈 공식의 적용; 전체 사각형 선택; 제곱 삼항식의 인수분해; 변환을 단순화하기 위해 새로운 변수를 도입합니다.

분수가 포함된 삼각식을 변환할 때 비율 속성을 사용하거나 분수를 줄이거나 분수를 공통 분모로 변환할 수 있습니다. 또한 분수의 분자와 분모를 곱하여 분수의 정수 부분을 선택할 수 있습니다. 같은 값, 뿐만 아니라 가능한 경우 분자 또는 분모의 동질성을 고려합니다. 필요한 경우 분수를 더 간단한 여러 분수의 합이나 차이로 나타낼 수 있습니다.

또한 삼각식을 변환하는 데 필요한 모든 방법을 적용 할 때 지속적으로 고려해야합니다. 허용 가능한 값변환할 표현식.

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예 1.

А = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x – π / 2) cos ( 2x – 7π) 계산 / 2) +

+ 죄(3π / 2 – x) 죄(2x -5π / 2)) 2

해결책.

감소 공식을 따릅니다.

죄(2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

죄 (2x – 9π / 2) = -cos 2x; 코사인 (x + π / 2) = -sin x;

cos (x – π / 2) = sin x; cos (2x – 7π / 2) = -sin 2x;

죄 (3π / 2 – x) = -cos x; 죄 (2x – 5π / 2) = -cos 2x.

따라서 인수의 추가 공식과 기본 삼각법 항등식을 통해 다음을 얻습니다.

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =

= 죄 2 3x + 코사인 2 3x = 1

답: 1.

예 2.

표현식 М = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ를 곱으로 변환합니다.

해결책.

인수 추가 공식과 삼각 함수의 합을 해당 그룹화 후 곱으로 변환하는 공식에서 다음을 얻습니다.

М = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β – γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β – γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β – γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β – γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β – γ) / 2) – (α + ( β + γ) / 2) / 2) =

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

답: М = 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

실시예 3.

A = cos 2 (x + π / 6) – cos (x + π / 6) cos (x – π / 6) + cos 2 (x – π / 6)라는 표현이 하나의 동일한 의미를 갖는다는 것을 보여주십시오. 이 값을 찾으십시오.

해결책.

이 문제를 해결하는 두 가지 방법이 있습니다. 첫 번째 방법을 적용하면 완전한 정사각형을 선택하고 해당 기본 삼각 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

А = (cos (x + π / 6) – cos (x – π / 6)) 2 + cos (x – π / 6) cos (x – π / 6) =

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) =

죄 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 – cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

두 번째 방법으로 문제를 해결하려면 A를 R에서 x의 함수로 간주하고 도함수를 계산합니다. 변환 후, 우리는

A’ = -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x – π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) – 2cos (x – π / 6) sin (x – π / 6) =

죄 2 (x + π / 6) + 죄 ((x + π / 6) + (x – π / 6)) – 죄 2 (x – π / 6) =

Sin 2x – (sin (2x + π / 3) + sin (2x – π / 3)) =

Sin 2x – 2sin 2x cos π / 3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

따라서 구간에서 미분 가능한 함수의 불변성 기준으로 인해 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다.

A (x) ≡ (0) = cos 2 π / 6 – cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 = (√3 / 2) 2 = 3/4, x € R.

답: A = x € R의 경우 3/4입니다.

삼각 식별을 증명하는 주요 방법은 다음과 같습니다.

NS) ID의 왼쪽을 다음으로 줄입니다. 올바른 길적절한 변형;

NS)정체성의 오른쪽을 왼쪽으로 축소;

V)같은 종류의 정체성의 오른쪽과 왼쪽의 축소;

NS)증명되는 신원의 왼쪽과 오른쪽 사이의 차이를 0으로 줄입니다.

예 4.

cos 3x = -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3)인지 확인하십시오.

해결책.

해당 삼각 공식에 따라 이 항등식의 우변을 변환하면

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) =

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) – (x + 2π / 3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) =

2cos x cos 2x – cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

ID의 오른쪽이 왼쪽으로 축소되었습니다.

예 5.

α, β, γ가 어떤 삼각형의 내각이라면 sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2임을 증명하십시오.

해결책.

α, β, γ가 어떤 삼각형의 내각이라는 것을 고려하면, 우리는 다음을 얻습니다.

α + β + γ = π 따라서 γ = π – α – β입니다.

죄 2 α + 죄 2 β + 죄 2 γ – 2 cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α cos β cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

원래 평등이 증명됩니다.

예 6.

삼각형의 각 α, β, γ 중 하나가 60°임을 증명하려면 sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0이면 충분합니다.

해결책.

이 문제의 조건은 필요성과 충분성의 증명을 전제로 합니다.

먼저 증명해보자 필요.

임을 나타낼 수 있다

죄 3α + 죄 3β + 죄 3γ = -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

따라서 cos (3/2 60 °) = cos 90 ° = 0을 고려하면 각도 α, β 또는 γ 중 하나가 60 °와 같으면

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0이므로 sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0입니다.

이제 증명하자 적절지정된 조건.

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0이면 cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0이므로

cos (3α / 2) = 0 또는 cos (3β / 2) = 0 또는 cos (3γ / 2) = 0입니다.

따라서,

또는 3α / 2 = π / 2 + πk, 즉 α = π / 3 + 2πk / 3,

또는 3β / 2 = π / 2 + πk, 즉, β = π / 3 + 2πk / 3,

또는 3γ / 2 = π / 2 + πk,

저것들. γ = π / 3 + 2πk / 3, 여기서 k ϵ Z.

α, β, γ는 삼각형의 각이므로,

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π. 따라서 α = π / 3 + 2πk / 3 또는 β = π / 3 + 2πk / 3 또는 γ = π / 3 + 2πk / 3 모든 kϵZ 중 k = 0만 맞습니다. 따라서 α = π / 3 = 60 ° 또는 β = π / 3 = 60 ° 또는 γ = π / 3 = 60 °입니다. 진술이 입증되었습니다. 아직 질문이 있으신가요? 삼각법 표현식을 단순화하는 방법을 모르십니까? 튜터의 도움을 받으려면 - 등록하십시오. 첫 수업은 무료! 사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하려면 소스에 대한 링크가 필요합니다.

[삼각함수 기초 #5] 삼각함수 각도 변환 cos(90˚-θ), sin(90˚-θ), tan(90˚-θ) 값 구하기

안녕하세요. 쏘쏘입니다.

이번 포스팅에서는 오랜만에 삼각함수 기초 내용을 다루어 볼게요.

4번의 포스팅까지 cos, sin, tan의 0˚와 90˚ 값을 구하는 것까지 설명드렸었는데,

이번부터는 각도 변환에 대해서 설명드리려고 합니다.

각도 변환이라고 하면, cos(90˚-θ), cos(90˚+θ), sin(180˚+θ) 등을 의미합니다.

각도 변환을 통해 90˚가 넘는 cos, sin, tan 값을 구할 수 있습니다.

예를 들어 sin270˚는 얼마, cos270˚는 얼마 이런 식으로요.

각도 변환 첫 포스팅이니 가장 기초가 되는 cos(90˚-θ), sin(90˚-θ), tan(90˚-θ)에 대해 설명드리겠습니다.

Let’s go~ : )

x-y 좌표계에 원과 삼각형 하나를 그려보겠습니다.

여기서 cosθ=x/r, sinθ=y/r, tanθ=y/x인 걸 알 수 있습니다.

그리고 위 그림에서 당연히 삼각형 사잇각을 빼면 90˚-θ가 되겠죠?

그럼 90˚-θ 값을 구하기 위해 두 가지 케이스로 그림을 다시 그려보겠습니다.

두 가지 케이스의 그림 모두 같은 의미입니다. 이해하기 쉽게 삼각형 2개를 분리시키겠습니다.

이 삼각형 그림 2개에서 집고 넘어가야 할 것이 붉은색 선 = r, 검은색 선 = x, 녹색 선 = y라는 겁니다.

왼쪽 삼각형에서 cos(90˚-θ)=녹색/붉은색, sin(90˚-θ)=검은색/붉은색 선이고 tan(90˚-θ)=검은색/녹색 선입니다.

앞서 말한 대로 색 별로 r, x, y를 대입해보면, cos(90˚-θ)=y/r, sin(90˚-θ)=x/r, tan(90˚-θ)=x/y 가 됩니다.

여기서 y/r, x/r, x/y를 사잇각이 θ인 오른쪽 삼각형에 대입해보면, y/r=sinθ, x/r=cosθ라는걸 알 수 있습니다.

즉, cos(90˚-θ)=sinθ, sin(90˚-θ)=cosθ입니다.

그렇다면 x/y는 어떻게 나타낼까요?

tanθ=y/x이고 역수를 취하면 x/y이므로 cotθ가 되는 겁니다.

이번 포스팅의 내용은 아래 3가지 식으로 정리됩니다.

★ cos(90˚-θ)=sinθ

★ sin(90˚-θ)=cosθ

★ tan(90˚-θ)=cotθ

90˚+θ, 180˚+θ 등 다른 각도 변환에 대해서도 이해하시기 쉽도록 정리해서 계속 포스팅하겠습니다.

글 읽어 주셔서 감사합니다.

– by 쏘쏘 –

2020/01/25 – [소소한 공부방/기초 수학] – [삼각함수 기초 #1] cosθ, sinθ, tanθ 란 ???

2020/01/27 – [소소한 공부방/기초 수학] – [삼각함수 기초 #2] cosθ, sinθ, tanθ의 역수 secθ, cosecθ, cotθ에 대하여

2020/01/29 – [소소한 공부방/기초 수학] – [삼각함수 기초 #3] sinθ, cosθ, tanθ 기본적인 값 구하기 (30˚, 45˚, 60˚)

2020/02/03 – [소소한 공부방/기초 수학] – [삼각함수 기초 #4] cos0˚, sin0˚, tan0˚ / cos90˚, sin90˚, tan90˚ 값 구하기

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