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수학3-4-3. 삼각비의 값(0도, 90도의 삼각비)

각도에 따른 삼각함수 값 + 외우기 팁

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예각의 삼각비 0°와 90°의 삼각비

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[삼각함수 기초 #5] 삼각함수 각도 변환 cos(90˚-θ), sin(90˚-θ), tan(90˚-θ) 값 구하기

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Summary of article content: Articles about 삼각함수 각의 변환 : 네이버 블로그 sin(90°-a)=cos(a). (→우변 코사인각의 a는,. 음각공식과 무관하게,. 좌변사인각의 사분면상 부호가. 플러스이기 때문에 플러스다.). …
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기하학적 정의

접선

코탄젠트

탄젠트와 코탄젠트의 속성

방식

복소수 표현

쌍곡선 함수의 표현

파생상품

적분

시리즈로 확장

역함수

각도의 개념 라디안 도

직각 삼각형 사인 코사인 탄젠트 각도 코탄젠트

단위(삼각) 원

원 위 한 점의 좌표

요약 및 기본 공식

cos 및 sin 90도. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 – OGE 및 USE에서 알아야 할 모든 것

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예각의 삼각비, 0°와 90°의 삼각비

30°, 45°, 60°의 삼각비를 알아봤어요. 특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°

이제는 위 세 각이 아닌 다른 각의 삼각비를 알아볼꺼에요. 0° ~ 90°까지의 각이요. 그 이상의 각은 여기서 다루지 않아요.

예각의 삼각비는 외울 필요도 없고 외울 수도 없지만 구하는 방법은 알고 있어야해요. 예각의 삼각비를 구하는 방법을 살짝 응용해서 0°와 90°의 삼각비를 구하거든요.

그리고, 0°와 90°의 삼각비값은 외워야 해요. 이해가 되지 않으면 외울 수도 없겠죠? 설명을 잘 보세요.

예각의 삼각비

예각의 삼각비를 구할 때 제일 중요한 건 바로 반지름의 길이가 1인 원을 그려서 생각하는 거에요.

반지름이 1인 원의 중심과 원 위의 한 점, x축을 연결해서 삼각형을 만들었어요.

위 그림에서 ∠x를 기준각으로 하고 삼각비를 구해보죠. sin, cos은 △OAB에서 구하고 tan는 △OCD에서 구해요. 크기가 다른 직각삼각형이라도 기준각의 크기가 같으면 삼각비는 같잖아요.

그러니까 예각의 삼각비를 구할 때는 분모가 되는 변의 길이가 1인 삼각형을 찾고 그 삼각형에서 삼각비를 찾으면 돼요. sin과 cos인 빗변이 분모가 되니까 빗변의 길이가 1인 △OAB에서 구했어요. tan는 밑변이 분모가 되므로 밑변의 길이가 1인 △OCD에서 구했고요.

0°와 90°의 삼각비

0°와 90°의 삼각비도 예각의 삼각비와 마찬가지로 반지름이 1인 원을 그려서 확인할 수 있어요.

0°의 삼각비 – sin0°, cos0°, tan0°

왼쪽 그림의 △OAB에서 ∠BOA에 대한 sin값은 에요. 그런데 점 B가 원을 따라서 x축으로 가까이 가면 어떻게 될까요? 는 점점 짧아질 거에요. 그러다가 점 B가 x축과 만나게 되면 = 0이 되겠죠. 이때 ∠BOA = 0°이고요.

즉 sin0° = 0이 되는 걸 알 수 있어요.

△OAB에서 ∠BOA에 대한 cos값은 에요. 위와 마찬가지로 점 B를 원을 따라 x축으로 가까이 옮겨볼까요? 그럼 는 점점 길어져요. 점 B가 x축과 만나면 = 1이 되고, ∠BOA = 0°이 돼요.

cos0° = 1이 되는 걸 알 수 있지요.

이번에는 오른쪽 그림의 △OCD를 보세요. ∠DOC의 tan값은 죠. 그런데 ∠DOC가 점점 작아지면 도 계속 작아져요. 그러다가 가 x축과 만나면 ∠DOC는 0°가 돼요. = 0이 돼죠.

즉, tan0° = 0이 되는 걸 알 수 있어요.

90°의 삼각비 – sin90°, cos90°, tan90°

왼쪽 그림의 △OAB에서 ∠BOA에 대한 sin값은 에요. 그런데, 점 B가 원을 따라서 y축으로 가까이 가면 어떻게 될까요? 는 점점 길어질 거예요. 그러다가 점 B가 y축과 만나게 되면 = 1이 되겠죠. 이때 ∠BOA = 90°이고요.

즉 sin90° = 1이 되는 걸 알 수 있어요.

△OAB에서 ∠BOA에 대한 cos값은 에요. 위와 마찬가지로 점 B를 원을 따라 y축으로 가까이 옮겨볼까요? 그럼 는 점점 줄어들어요. 점 B가 y축과 만나면 = 0이 되고, ∠BOA = 90°이 돼요.

cos90° = 0이 되는 걸 알 수 있지요.

이번에는 오른쪽 그림의 △OCD를 보세요. ∠DOC의 tan값은 죠. 그런데 ∠DOC가 점점 커지면 도 계속 커져요. 그러다가 가 y축과 만나면 ∠DOC는 90°가 돼요. 이때의 tan는 너무 커져서 그 크기를 알 수 없어요. 이때를 정할 수 없다고 표현합니다.

다음을 계산하여라.

(1) sin0° + cos0° + tan0°

(2) (sin0° + cos90°) × (sin90° + cos0°)

sin0° = 0, cos0° = 1, tan0° = 0, sin90° = 1, cos90° = 1을 위 식에 대입해서 풀면 돼요.

(1) sin0° + cos0° + tan0° = 0 + 1 + 0 = 1

(2) (sin0° + cos90°) × (sin90° + cos0°) = (0 + 0) × (1 + 1) = 0 × 2 = 0

0° ~ 90°의 삼각비

0°에서 90°까지 각의 크기가 변화할 때, 삼각비는 어떻게 되는지 알아볼까요?

sin은 0°에서 90°로 갈수록 값이 커져요. sin0° = 0으로 가장 작고, sin90° = 1로 가장 큽니다.

cos은 0°에서 90°로 각이 커질수록 값이 작아지고요. cos0° = 1으로 가장 크고, cos90° = 0으로 가장 작아요.

tan은 0°에서 90°로 각이 커질수록 값이 커져요. tan0° = 0으로 가장 작고, 계속 커져서 그 끝은 정할 수 없어요.

각의 크기 변화에 따른 삼각비의 변화 0° ~ 90° sin 0 ↗ (증가)

1 cos 1 ↘ (감소) 0 tan 0 ↗ (증가) 정의할 수 없다.

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[삼각함수 기초 #5] 삼각함수 각도 변환 cos(90˚-θ), sin(90˚-θ), tan(90˚-θ) 값 구하기

안녕하세요. 쏘쏘입니다.

이번 포스팅에서는 오랜만에 삼각함수 기초 내용을 다루어 볼게요.

4번의 포스팅까지 cos, sin, tan의 0˚와 90˚ 값을 구하는 것까지 설명드렸었는데,

이번부터는 각도 변환에 대해서 설명드리려고 합니다.

각도 변환이라고 하면, cos(90˚-θ), cos(90˚+θ), sin(180˚+θ) 등을 의미합니다.

각도 변환을 통해 90˚가 넘는 cos, sin, tan 값을 구할 수 있습니다.

예를 들어 sin270˚는 얼마, cos270˚는 얼마 이런 식으로요.

각도 변환 첫 포스팅이니 가장 기초가 되는 cos(90˚-θ), sin(90˚-θ), tan(90˚-θ)에 대해 설명드리겠습니다.

Let’s go~ : )

x-y 좌표계에 원과 삼각형 하나를 그려보겠습니다.

여기서 cosθ=x/r, sinθ=y/r, tanθ=y/x인 걸 알 수 있습니다.

그리고 위 그림에서 당연히 삼각형 사잇각을 빼면 90˚-θ가 되겠죠?

그럼 90˚-θ 값을 구하기 위해 두 가지 케이스로 그림을 다시 그려보겠습니다.

두 가지 케이스의 그림 모두 같은 의미입니다. 이해하기 쉽게 삼각형 2개를 분리시키겠습니다.

이 삼각형 그림 2개에서 집고 넘어가야 할 것이 붉은색 선 = r, 검은색 선 = x, 녹색 선 = y라는 겁니다.

왼쪽 삼각형에서 cos(90˚-θ)=녹색/붉은색, sin(90˚-θ)=검은색/붉은색 선이고 tan(90˚-θ)=검은색/녹색 선입니다.

앞서 말한 대로 색 별로 r, x, y를 대입해보면, cos(90˚-θ)=y/r, sin(90˚-θ)=x/r, tan(90˚-θ)=x/y 가 됩니다.

여기서 y/r, x/r, x/y를 사잇각이 θ인 오른쪽 삼각형에 대입해보면, y/r=sinθ, x/r=cosθ라는걸 알 수 있습니다.

즉, cos(90˚-θ)=sinθ, sin(90˚-θ)=cosθ입니다.

그렇다면 x/y는 어떻게 나타낼까요?

tanθ=y/x이고 역수를 취하면 x/y이므로 cotθ가 되는 겁니다.

이번 포스팅의 내용은 아래 3가지 식으로 정리됩니다.

★ cos(90˚-θ)=sinθ

★ sin(90˚-θ)=cosθ

★ tan(90˚-θ)=cotθ

90˚+θ, 180˚+θ 등 다른 각도 변환에 대해서도 이해하시기 쉽도록 정리해서 계속 포스팅하겠습니다.

글 읽어 주셔서 감사합니다.

– by 쏘쏘 –

2020/01/25 – [소소한 공부방/기초 수학] – [삼각함수 기초 #1] cosθ, sinθ, tanθ 란 ???

2020/01/27 – [소소한 공부방/기초 수학] – [삼각함수 기초 #2] cosθ, sinθ, tanθ의 역수 secθ, cosecθ, cotθ에 대하여

2020/01/29 – [소소한 공부방/기초 수학] – [삼각함수 기초 #3] sinθ, cosθ, tanθ 기본적인 값 구하기 (30˚, 45˚, 60˚)

2020/02/03 – [소소한 공부방/기초 수학] – [삼각함수 기초 #4] cos0˚, sin0˚, tan0˚ / cos90˚, sin90˚, tan90˚ 값 구하기

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삼각함수 각의 변환

위 그림에서

각 a와 각 -a는 x축에 대하여 대칭이다.

그런데 마침 코사인은 1,4분면에서

플러스값을 가진다 (‘얼싸안고’공식).

이것 때문인지 다음과 같이

오해하는 사람들이 꽤 있다.

“(음각공식이 성립하는 이유는)

4사분면에서 사인과 탄젠은 마이너스값이지만

코사인은 플러스값을 갖기 때문이다.”

흠~ 그럼 음각공식은 4사분면에서만

적용되는 것일까?

즉 음각이어도 제 4사분면이 아니면

(코사인 값은) 마이너스로 되나???

전혀~ 아니다.

음각공식은 (말 그대로)

각의 부호에 관한 것이다.

음각자체의 크기 즉

사분면상 소재지와 상관없이

공식을 적용해야 한다.

왜냐하면 음각공식은 코사인이 우함수라는

점에서 비롯되었기 때문이다.

중 요 !

(‘얼싸안고’공식과 아무런 관련이 없다.)

다음 값을 변환해보라.

모두 4사분면이 아닌 각이다.

(해당 각의 위치는 따질 필요가 없다.)

cos(-120°) = cos(120°) =-0.5

sin(-120°) = -sin(120°) = -√3/2

tan(-135°) = -tan(135°) = -1

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예각의 삼각비, 0°와 90°의 삼각비 – 수학방

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삼각함수 각의 변환 : 네이버 블로그

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