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[EBS 수학의 답] 기본 도형 – 1. 직선, 반직선, 선분

[EBS 수학의 답] 기본 도형 – 1. 직선, 반직선, 선분

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기본도형

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도형의 시작, 중1 – 기본도형에 대한 개념정리 -정읍 달인수학- : 네이버 블로그

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4. 기본 도형 | 중등 1학년 | 수학 | Khan Academy

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  [01] 점, 선, 면, 각을 이해하고, 점, 직선, 평면의 위치 관계를 설명할 수 있다.
  [02] 평행선에서 동위각과 엇각의 성질을 이해한다.
  󰊱 작도와 합동
  [03] 삼각형을 작도할 수 있다.
  [04] 삼각형의 합동 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 합동인지 판별할 수 있다.
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[01-05차시] 점 선 면

[04-05차시] 각

[09-13차시] 동위각과 엇각

[14-18차시] 삼각형의 작도

[19-20차시] 삼각형의 합동(1)

[21-22차시] 삼각형의 합동(2)

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유클리드가 들려주는 기본도형과 다각형 이야기 – 김남준 – Google Sách

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기본 도형 – 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분 – 수학방

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기본 도형 – 점 선 면 직선 반직선 선분

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[교과서 수학] 중학교 1학년 ‘기본 도형’ 평가문제 모음 비상교육

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기본 도형으로 설정

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기본 도형

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✾ 기본 도형

❦ 점, 선, 면의 성질

❧ 도형의 기본 요소 : 점, 선, 면

❧ 교점 : 선과 선 또는 선과 면이 만나서 생기는 점

❧ 교선 : 면과 면이 만나서 생기는 선

❧ 선의 종류

▶ 직선 \(\rm AB\) : \(\rm \overleftrightarrow {AB}\)

▶ 반직선 \(\rm AB\) : \(\rm \overrightarrow {AB}\)

▶ 선분 \(\rm AB\) : \(\rm \overline {AB}\)

❧ 두 점 \(\rm A,~B\) 사이의 거리 : 두 점 \(\rm A,~B\)를 이을 수 있는 선 중에서 길이가 가장 짧은 것은 선분 \(\rm AB\)이다. 이때 선분 \(\rm AB\)의 길이를 두 점 \(\rm A,~B\) 사이의 거리라 한다.

▶ 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)의 길이가 같다. : \(\rm \overline {AB}=\overline {CD}\)

❧ 중점 : 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm M\)에 대하여 \(\rm \overline {AM}=\overline {BM}\)일 때, 점 \(\rm M\)을 선분 \(\rm AB\)의 중점이라고 한다.

† 일반적으로 점은 알파벳 대문자 \(\rm A,~B,~C,~\cdots\)를 사용하여 나타내고, 직선은 알파벳 소문자 \(l,~m,~n,~\cdots\)를 사용하여 나타낸다. † 직선 \(l\)이 점 \(\rm A\)를 지난다. ⇒ 점 \(\rm A\)는 직선 \(l\) 위에 있다. 직선 \(l\)이 점 \(\rm B\)를 지나지 않는다. ⇒ 점 \(\rm B\)는 직선 \(l\) 위에 있지 않다. † \(\rm \overline{AB}\)는 선분을 나타내기도 하고 길이를 나타내기도 한다.

❦ 각

❧ 각 \(\rm AOB\) : 점 \(\rm O\)에서 시작하는 두 반직선 \(\rm OA,~OB\)로 이루어진 도형을 각 \(\rm AOB\)라 하고, 이것을 기호로 \[\rm \angle AOB\]와 같이 나타낸다.

❧ 크기에 따른 각의 종류

▶ 예각 : \(0^\circ\)보다 크고 \(90^\circ\)보다 작은 각

▶ 직각 : \(90^\circ\)

▶ 둔각 : \(90^\circ\)보다 크고 \(180^\circ\)보다 작은 각

▶ 평각 : \(180^\circ\)

♠ How to… 점 \(\rm B\)를 끌어 변화를 관찰한다.

† \(\rm \angle AOB\)라 하면 보통 작은 쪽 각을 말한다. † \(\rm \angle AOB\)는 도형으로서 각을 나타내기도 하고, 각의 크기를 나타내기도 한다.

❧ 각의 성질

▶ 교각 : 서로 다른 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 사잇각

▶ 맞꼭지각 : 교각에서 서로 마주보는 각

▶ 맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

\(\left. \begin{align}\angle a+\angle b&=180^\circ\\\angle b+\angle c&=180^\circ\\\end{align} \right\}\quad\Rightarrow \angle a=\angle c\) 같은 방법으로 \(\angle b=\angle d\)

▶ 두 선분 \(\rm {AB}\)와 \(\rm {CD}\)의 교각이 직각일 때, 두 선분은 서로 직교한다고 한다.

\[\rm \overline{AB}\bot \overline{CD}\]

이때 두 선분 \(\rm {AB}\)와 \(\rm {CD}\)는 서로 수직이고, 한 선분은 다른 선분의 수선이다.

▶ 선분 \(\rm {AB}\)의 중점 \(\rm M\)을 지나고 선분 \(\rm {AB}\)에 수직인 선분 \(\rm {CD}\)를 선분 \(\rm {AB}\)의 수직이등분선이라고 한다.

▶ 그림과 같이 직선 \(l\) 위에 있지 않은 점 \(\rm P\)에서 직선 \(l\)에 수선을 그어서 생기는 교점을 \(\rm H\)라고 할 때, 점 \(\rm H\)를 점 \(\rm P\)에서 직선 \(l\)에 내린 수선의 발이라고 한다.

❦ 위치 관계

❧ 점과 직선의 위치 관계

점 \(\rm A\)는 직선 \(l\) 위에 있다. 점 \(\rm A\)는 직선 \(l\) 위에 있지 않다.

❧ 한 평면 위에서 두 직선의 위치 관계

한 점에서 만난다. 평행하다.\((l\mathrel {/\! /}m)\) 일치한다.

❧ 공간에서 서로 다른 두 직선의 위치 관계

한 점에서 만난다. 평행하다.\((l\mathrel {/\! /}m)\) 꼬인 위치에 있다. 한 평면 위에 있다. 한 평면 위에 있지 않다.

❧ 공간에서 직선과 평면의 위치 관계

직선이 평면에 포함된다. 한 점에서 만난다. 평행하다.\((l\mathrel {/\! /} P)\)

❧ 공간에서 두 평면의 위치 관계

한 직선에서 만난다. 평행하다.\((P\mathrel {/\! /} Q)\) 일치한다.

❧ 공간에서 직선과 평면이 직교

오른쪽 그림과 같이 직선 \(l\)이 평면 \(P\)와 한 점에서 만나고 교점을 지나는 평면 위의 모든 직선과 서로 수직일 때, 직선 \(l\)과 평면 \(P\)는 서로 수직이다 또는 서로 직교한다고 하고, 이것을 기호로 \[l\mathrel{\bot} P\]와 같이 나타낸다.

이 때 직선 \(l\)을 평면 \(P\)의 수선이라고 한다.

❦ 평행선의 성질

❧ 동위각과 엇각

오른쪽 그림과 같이 두 직선 \(l,~m\)이 다른 한 직선 \(n\)과 만날 때 생기는 \(8\)개의 각 중에서

\(\angle a\)와 \(\angle e\), \(\angle b\)와 \(\angle f\), \(\angle c\)와 \(\angle g\), \(\angle d\)와 \(\angle h\)

를 각각 서로 동위각이라고 한다. 또,

\(\angle b\)와 \(\angle h\), \(\angle c\)와 \(\angle e\)

를 각각 서로 엇각이라고 한다.

❧ 평행선과 동위각

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

(1) 두 직선이 서로 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다.

(2) 동위각의 크기가 서로 같으면 그 두 직선은 서로 평행하다.

❧ 평행선과 엇각

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

(1) 두 직선이 서로 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다.

(2) 엇각의 크기가 서로 같으면 그 두 직선은 서로 평행하다.

도형의 시작, 중1 – 기본도형에 대한 개념정리 -정읍 달인수학-

도형을 이루는 기본요소에는 점, 선, 면입니다. 그리고, 우리주위의 모든 형상들은 점, 선, 면으로 이루어져 있습니다.

따라서 도형의 요소에 대한 이해는 주위의 사물에 대한 이해를 도와줄 수 있습니다.

초등과정에서 기본 도형에 대하여 학습했습니다. 하지만, 중등과정에서 새롭게 만나게 되는 낯선 용어들(교점,교선,반직선,맞꼭지각,동위각,엇각,위치관계등)을 잘 알아 두고 자주 사용해야 익숙해지겠지요?

선분은 선의 일부분으로 처음과 끝이 있고 처음과 끝을 바꾸어 표현해도 같은 선분이며, 직선은 처음과 끝이 없는 선이므로, 그 선위의 어떤 두점을 선택하여 나타내어도 같은 직선을 나타내는 것이나, 반직선은 시작점과 방향이 다르면 다른 반직선이 됨에 유의합니다. 즉, 선분AB와 선분BA는 같지만, 반직선AB와 반직선BA는 같지 않습니다.

도형을 이루는 기본요소로 점,선,면이 있는데, 이들을 가장 적게 사용하여 만들수 있는 도형이 바로 각입니다. 그렇다면 각은 왜 배우고 어디에 사용할까요? 아래와 같이 우리가 사용하는 시계는 시침과 분침이 회전하는 각도에 따라 시각을 표시한답니다.

예각, 직각, 둔각의 뜻을 떠올려 보며 각에 대해 정리하고, 각을 분류해 봅니다. 각을 표현하는 기호 또한 수학에서의 약속이므로 잘지켜 사용합니다.

두개이상의 직선이 만나면 서로 마주보는 각의 쌍이 만들어지는데, 이 각의 쌍을 서로 맞꼭지각이라 합니다. 그리고 이 맞꼭지각의 크기는 서로 같습니다. 수직이등분선은 선분을 수직으로 이등분하는 직선을 말하며 수직이등분선의 작도는 선분의 양끝점에서 반지름이 같은 크기의 호을 작도하여 만나는 두 점을 지나는 직선을 그려서 작도할 수 있습니다.

한 평면위에서 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만나 생기는 8개의 각중에서 동위각은 서로 같은 위치관계에 있는 두각을 뜻하며, 엇각은 서로 엇갈린 위치관계에 있는 두각을 뜻합니다. 동위각과 엇각은 두 직선이 평행할때 서로의 각이 같아지며, 역으로 동위각 엇각이 같으면 두 직선은 평행하게 됩니다. 접은각이라는 새로운 용어도 나왔는데, 종이를 접었을 때 접어서 겹치는 각을 말하며 원래의 각과 서로 같습니다.

이제는 위치관계를 보겠습니다. 먼저, 평면에서의 위치관계를 볼까요? 같은 평면위에서 두 직선의 위치관계는 한점에서 만나거나, 평행하거나, 일치하는 3가지 경우가 있습니다. 평면이 하나로 정해질 조건은 아래의 4가지 경우가 있습니다.

평면이 아닌 공간에서의 위치관계를 살펴봅니다. 공간에서의 위치관계는 평면에서의 위치관계와 약간 다르므로 구분해서 학습합니다. 문제의 보기에서 주어진 공간에서의 위치관계를 확인하기 쉽지않으므로 공간을 형상화하여 확인해보는 연습이 필요합니다. 또한, 입체도형에서 모서리와 모서리, 모서리와 면의 위치관계를 묻는 문제가 자주 출제됩니다.

앞으로 중학교 각 학년의 2학기 과정은 대부분 도형에 대한 학습이 이루어집니다. 이 단원에서 앞으로의 도형 학습을 잘하기 위한 바탕을 잘 닦아놓아야 다음 학습을 하기에 어려움이 없을 것입니다.

수학은 개념에 익숙해져야 하고 자주 사고(思考)하여 수학적인 이해를 증진시켜야 수학에 흥미를 느낄수 있습니다. 익숙해지려면 자주 접하고 늘 생각해야 합니다.

그래서 자기 주도 학습 습관을 완성해 가는 정읍 달인학원의 수달이들은 매일매일 정해진 시간에 정해진 분량의 수학 학습을 하고 있습니다.

기본 도형 – 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분

새로운 단원인 도형 단원이에요.

도형은 그림이 많이 나오니까 그림을 보고 무슨 도형인지 어떤 특징이 있는지 빨리 파악해야 해요.

언제나 마찬가지지만 단원의 첫 부분에는 단원에서 사용할 용어들을 배우지요. 이 글에서는 도형을 이루는 가장 기본적인 것인 점과 선, 면, 직선, 반직선, 선분의 정의에 대해서 정리해 볼게요.

사실 처음 듣는 단어들은 없어요. 그렇다고 뜻을 모르는 것도 아니고요. 다만 좀 더 구체적인 수학적 의미로서 꼭 알고 있어야할 내용이에요.

점, 선, 면

점은 딱히 뭐라고 설명하기가 좀 그렇네요. 그냥 연필로 딱 한 번 찍은 것을 점이라고 하잖아요. 우리가 알고 있는 그 점입니다.

선은 무수히 많은 점이 모여서 이루어진 걸 말해요. 그냥 죽 그은 것처럼 보이지만 아주 많은 점을 아주 가깝게 많이 찍으면 그게 선이 되는 거예요.

조금 더 멋있게(?) 표현하면 점들이 연속적으로 움직인 자리가 바로 선이에요.

면은 무수히 많은 선이 모여서 이루어진 걸 말해요. 보통 우리는 면을 그리면 모서리만 그리죠? 직사각형을 그리면 선을 네 개만 그어서 바깥쪽에는 선이지만 안쪽은 비어있다고 생각하기 쉬운데, 사실 채우지 않았다 뿐이지 선으로 둘러싸인 모든 곳에 선이 그어져 있다고 생각해야 해요.

그래서 면은 선들이 연속적으로 움직인 자리라고 정의해요.

교점과 교선

교점과 교선에서 교는 섞이다는 뜻인데 여기서는 서로 만난다는 뜻으로 해석해요.

교점은 말 그대로 만나는 점이라는 뜻인데, 뭐가 만나느냐? 선과 선이 만나는 점 또는 면과 선이 만나서 생기는 점을 교점이라고 해요.

이때 선과 면은 꼭 반듯한 직선이 아니어도 상관없어요. 곡선이나 휘어진 면이 만나서 생기는 곳도 교점이라고 해요.

교선은 면과 면이 만나서 생기는 선이에요. 면과 면이 만날 때는 만나는 점이 하나만 생기는 것이 아니라 여러 개가 생기는 데, 그 여러 개가 모여서 바로 선이 되는 거죠.

직선, 반직선, 선분

직선은 서로 다른 두 점에 의해서 결정돼요. 그러니까 점이 하나만 있다면 그 점을 지나는 선은 무수히 많이 그릴 수 있어요. 하지만 서로 다른 두 점이 있으면 그 두 점을 모두 지나는 직선은 딱 하나만 생겨요.

그래서 직선을 정의할 때는 서로 다른 두 점을 이용해서 정의합니다.

직선은 서로 다른 두 점 A, B를 지나 한없이 곧게 뻗은 선이에요. 두 점을 지나야 하고 끝이 없이 계속되어야 해요. A, B를 지나지만 어는 한 곳에서 끝나면 직선이라고 하지 않아요. 또 하나 중요한 건 곧게 뻗은 선이어야 한다는 거예요. 중간에 휘어지면 안 돼요.

직선은 지나는 두 점을 이용해서 표시하는데, A, B를 지나기 때문에 알파벳 A와 B를 이용해서 직선 AB라고 하기도 하고 기호로 로 표시하기도 해요. 선이 A와 B를 지나서도 계속되니까 화살표를 양쪽으로 표시하는 거예요. 혹 두 점 A, B가 정의되지 않았거나 간단히 쓰고 싶을 때는 소문자 l(엘)을 써서 직선 l이라고 쓰기도 해요.

반직선은 직선 AB 위의 한 점 A에서 출발해서 점 B쪽으로 곧게 뻗은 선을 말해요. 반직선에서 중요한 것은 출발점이 있다는 거예요. 직선은 점 A을 지나서 계속되어야 하지만 반직선은 점 A를 지나는 것이 아니라 바로 그 위에서 시작한다는 거지요. 넘어가면 안 된다는 얘기에요.

반직선도 마찬가지로 알파벳 A와 B를 이용해서 표시해요. 반직선 AB라고 하기도 하고, 기호로 로 표시하기도 해요. 선이 A에서 출발해서 B쪽 방향으로 계속되니까 B쪽 방향으로 화살표가 하나만 있어요.

선분은 직선 AB 위의 점 A에서 B까지의 부분을 말해요. 점에서 점까지 에요. 점을 넘어가는 건 아닙니다.

선분은 선분 AB라고 하기도 하고, 기호로는 로 표시해요. 선이 A에서 B로 끝나니까 화살표가 없는 그냥 선만 그어요.

반직선 AB( )와 반직선 BA( )는 달라요. 출발점이 다르잖아요. 반직선 AB는 출발점이 A이고, 반직선 BA는 출발점이 B에요. 두 반직선이 서로 같으면 출발점이 같아야 한다는 것도 잊지 마세요.

그 외 직선 AB와 직선 BA는 같고, 선분 AB와 선분 BA도 같아요.

아래 그림을 보고, 직선, 반직선, 선분으로 구분하시오.

위 그램에서는 선 양쪽으로 화살표가 하나도 없지요. 화살표가 어느 방향으로 나 있느냐를 보고 반직선의 방향을 찾기도 하거든요. 하지만 화살표가 표시되는 경우보다 표시되지 않는 경우가 훨씬 많아요. 이때는 선이 점을 지나서 더 이어지는지 아닌 지를 보고 판단해야 해요.

첫 번째 그림은 M, N이라는 두 점이 있는데, 선이 두 점을 모두 지나서도 연결이 되어 있네요. 그래서 이건 직선이고 두 점 M, N을 지나니까 직선 MN( )입니다.

오른쪽 위의 그림에서는 점 M에서는 점 위에서 선이 끝나고, 점 N에서는 선이 계속 이어져 있죠? 그래서 점 M에서 출발해서 점 N으로 가는 반직선 MN( )이네요.

왼쪽 아래 그림은 반대로 점 M에서는 계속 이어져 있고, 점 N에서는 끝나니까 점 N에서 출발해서 점 M으로 가는 반직선 NM( )이고요.

마지막 오른쪽 아래 그림은 선이 모두 두 점에서 끝나니까 선분 MN( )이에요.

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면: 무수히 많은 선이 모인 것, 선들이 연속적으로 움직인 자리

교점: 선과 선, 선과 면이 만나는 점

교선: 면과 면이 만나서 생기는 선 직선, 반직선, 선분 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 하나

직선: 두 점 A, B를 지나는 한없이 곧게 뻗은 선. 직선 AB 또는

반직선: 점 A에서 출발하여 점 B 방향으로 곧게 뻗은 선. 반직선 AB 또는

선분: 직선에서 두 점 A와 B를 연결하는 부분. 선분 AB 또는

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